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| Aufgabe | Seien U,V,W 4-dimensionale Unterräume des [mm] R^{8} [/mm] uind gelte [mm] U+V+W=R^{8} [/mm] und dim((U+V) [mm] \cap [/mm] W)=1.
Bestimmen Sie dim(U+V) und dim(U [mm] \cap [/mm] V) |
Hallo,
ich habe Probleme mit der Aufgabe.
Haben Quellen gefunden mit Beispielaufgaben, bloß da waren die Dimensionen noch vorstellbar.
Ich würde gerne einmal [mm] U+V+W=R^{8} [/mm] (wenn möglich dann in der 3. Dimension) und [mm] dim((U+V)\capW)=1 [/mm] erläutert haben.
Vielleicht fällt dann der Groschen.
MfG Neßthe0ne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Mo 05.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
verwende die Formel $dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U [mm] \cap [/mm] V)$, wenn U,V beliebige Unterräume von [mm] $\mathbb{R}^8$ [/mm] sind.
Liebe Grüße
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Danke für die Antwort.
Bloß habe ich halt Probleme dass mit beliebigen Unterräumen zu "rechnen".
Wie stelle ich das am besten auf? Ein Anfang wäre sehr nett.
Und was sagen mir die ganzen Gegebenheiten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 05.01.2015 | | Autor: | andyv |
Ersetze in $ dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U [mm] \cap [/mm] V) $
U durch U+V und V durch W, dann siehst du hoffentlich wie die Voraussetzungen ins Spiel kommen.
Liebe Grüße
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Ich habe deine Schritte befolgt u kam auf folgende Gleichung:
dim [mm] (R^{8})=dim(U+V)+dim(W)-1
[/mm]
für dim [mm] (R^{8}) [/mm] (schätze ich mal) kommt 8 raus, da der Vektorraum in der 8. Dimension liegt.
Nun habe ich noch Probleme mit dim(W) (und dim [mm] (U\cap [/mm] W)
Ich würde gerne einen weiteren Tipp bekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Di 06.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Ich habe deine Schritte befolgt u kam auf folgende
> Gleichung:
>
> dim [mm](R^{8})=dim(U+V)+dim(W)-1[/mm]
>
> für dim [mm](R^{8})[/mm] (schätze ich mal) kommt 8 raus,
Richtig geschaetzt, aber dieses Ergebnis sollte Dir ohne zu raten absolut klar sein.
> da der
> Vektorraum in der 8. Dimension liegt.
Er liegt nicht in der $8.$ Dimension, man sagt er habe $8$ Dimensionen oder er sei $8$ dimensional.
> Nun habe ich noch Probleme mit dim(W) (und dim [mm](U\cap[/mm] W)
Immer an die Aufgabenstellung denken: $dim W$ ist bekannt. Schlussfolgere nun $dim (U+V)$ und wende dann nocheinmal die Dimensionsformel an.
>
> Ich würde gerne einen weiteren Tipp bekommen.
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Also dann habe ich als Gleichung
8=dim (U+V) + 4 - 1
Aufgelöst ist also dim(U+V)=5
Daraus ergibt sich dann, dass [mm] dim(U\cap [/mm] V)=3 ist.
Soweit so gut.
Ich würde jedoch gerne noch verstehen wollen, warum ich U mit U+V und V mit W ersetzen darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 06.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Also dann habe ich als Gleichung
> 8=dim (U+V) + 4 - 1
> Aufgelöst ist also dim(U+V)=5
>
> Daraus ergibt sich dann, dass [mm]dim(U\cap[/mm] V)=3 ist.
Richtig.
>
> Soweit so gut.
>
> Ich würde jedoch gerne noch verstehen wollen, warum ich U
> mit U+V und V mit W ersetzen darf.
Gegenfrage: Was steht in Deinem Skript o.ae. ueber die Dimensionsformel und die Summe von Teilraeumen?
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Folgendes habe ich zur Dimensionsformel zu stehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und zur Summe von Unterräumen dieses hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider hilft mir das Skript vom Prof nicht wirklich weiter, ebenso wenig seine Vorlesungen.
Darum würde i es gerne nochmal anders erläutert bekommen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Di 06.01.2015 | | Autor: | hippias |
Koenntest Du bitte genauer sagen, was Du nicht verstehst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Di 06.01.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ne0the0ne!
Leider können die Bilder aus Gründen des Urheberrechts nicht freigeschaltet werden, da sie Ausschnitte eines Skriptes wiedergeben, von dem du nicht der Urheber bist (wie du glücklicherweise wahrheitsgemäß angegeben hast).
Du könntest stattdessen die Definition und die Aussage des Satzes abtippen, falls die Formulierung wichtig ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mi 07.01.2015 | | Autor: | hippias |
>
> Ich würde jedoch gerne noch verstehen wollen, warum ich U
> mit U+V und V mit W ersetzen darf.
Weil die Voraussetzungen des Dimenssatzes erfuellt sind:
>Dimensionssatz für lineare Unterräume:
>Seien U,W Unterräume von V mit $ [mm] dimV<\infty. [/mm] $
>Dann gilt: $ [mm] dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U\capW). [/mm] $
>[Danach kommt ein Beweis zu dem Satz, der aber nicht auf das >eigentliche rechnen eingeht.]
Der Deutlichkeit halber schreibe ich so: $ [mm] \dim(X+Y)=\dim X+\dim Y-\dim(X\cap [/mm] Y). $
Diese Beziehung kann natuerlich auch fuer die Raeume $X:= U+V$ and $Y= W$ benutzt werden. Und dass $U+V$ tatsaechlich ein Raum ist, ergibt sich aus dieser Definition:
>Unterraum:
>a) Sei $ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ eine nichtleere Menge von Unterräumen von >V. Dann ist $ [mm] \cap\mathcal{A} [/mm] $ ein Unterraum von V.
>b) Seien U,W Unterräume von V. Dann ist U+W:={u+w|u€U, w€W} ein >Vektorraum von V.
Es ist zu Anfang schwer, aber man darf sich durch den Gebrauch unterschiedlicher Buchstaben nicht zu sehr aus der Bahn werfen lassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 06.01.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ne0the0ne!
Auch mir ist nicht völlig klar, was dir noch unklar ist. Dennoch versuche ich mich mal an Erklärungen:
Sind [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] Untervektorräume eines Vektorraumes V, so können wir uns daraus zwei weitere Untervektorräume von V basteln, nämlich [mm] $U_1+U_2$ [/mm] und [mm] $U_1\cap U_2$.
[/mm]
Für jeden Vektorraum V ist ganz V ein Untervektorraum von V.
Untervektorräume können selbst wieder als Vektorräume angesehen werden.
Als solche haben sie insbesondere eine Dimension (falls man [mm] $\infty$ [/mm] auch als mögliche Dimension zulässt).
> Ich würde gerne einmal [mm]U+V+W=R^{8}[/mm] (wenn möglich dann in
> der 3. Dimension) und [mm]dim((U+V)\capW)=1[/mm] erläutert haben.
> Vielleicht fällt dann der Groschen.
U, V und W sind Untervektorräume des Vektorraumes [mm] $\IR^8$.
[/mm]
U+V ist also auch ein Untervektorraum von [mm] $\IR^8$.
[/mm]
Also sind auch $(U+V)+W$ und [mm] $(U+V)\cap [/mm] W$ Untervektorräume von [mm] $\IR^8$.
[/mm]
Auch [mm] $\IR^8$ [/mm] ist ein Untervektorraum von [mm] $\IR^8$.
[/mm]
Die Voraussetzung [mm] $U+V+W=\IR^8$ [/mm] besagt, dass es sich bei $U+V+W$ und bei [mm] $\IR^8$ [/mm] um den gleichen Untervektorraum handelt.
Als Vektorraum hat [mm] $(U+V)\cap [/mm] W$ eine Dimension. Die Voraussetzung [mm] $dim((U+V)\cap [/mm] W)=1$ besagt, dass diese Dimension 1 ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Jetzt hat es endlich klick gemacht.
Danke sehr an allen Helfern. 
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