Summe berechnen von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne für |x| < 1 die Summen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^2 \* x^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n} [/mm] |
huhu,
Unser Übungsleiter meinte, dass wir mithilfe von Ableiten auf die geometrische Reihe kommen sollen. Wenn ich die Reihe allerdings nach x ableite komme ich auf
bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^2 \* x^n [/mm] ' auf [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^3 \* x^{n-1} [/mm] . Das Spielchen könnte ich so weiterführen, doch im Endeffekt krieg ich immer mehr Produkte, und ich weiß nicht wie ich davon auf die geometrisch Reihe schließen soll. Wenn ich n mal ableiten würde hätte ich ja n! [mm] \* [/mm] n [mm] \* [/mm] n , das bringt mir nix. Hat jemand einen Tipp für mich?
Lg,
Eve
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne für |x| < 1 die Summen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^2 \* x^n[/mm]
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^n}{n}[/mm]
> huhu,
>
> Unser Übungsleiter meinte, dass wir mithilfe von Ableiten
> auf die geometrische Reihe kommen sollen. Wenn ich die
> Reihe allerdings nach x ableite komme ich auf
>
> bei [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^2 \* x^n[/mm] ' auf
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^3 \* x^{n-1}[/mm] . Das Spielchen
> könnte ich so weiterführen, doch im Endeffekt krieg ich
> immer mehr Produkte, und ich weiß nicht wie ich davon auf
> die geometrisch Reihe schließen soll. Wenn ich n mal
> ableiten würde hätte ich ja n! [mm]\*[/mm] n [mm]\*[/mm] n , das bringt mir
> nix. Hat jemand einen Tipp für mich?
bei der zweiten Reihe klappt das so jedenfalls doch wunderbar:
[mm] $$(\sum_{n=1}^\infty x^n/n)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n} x^{n-1}=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.$$
[/mm]
Denke nun rechterhand an die geometrische Reihe (dann steht da der Summand $1/(1-x)$) und dann verwende den HDI. Einziger Haken oben: Du musst auch begründen, "warum Du die Differentiation in die Reihe reinziehen darfst". Habt Ihr denn schon Potenzreihen behandelt?
Bei der ersten Reihe kannst Du etwa so vorgehen (auch hier sind aber Schritte zu begründen!):
[mm] $$\sum n^2 x^n=(\sum (x^{n+2}))''-\sum [/mm] (3n [mm] x^n)-\sum (2x^n)\,.$$
[/mm]
Und um dabei mit [mm] $\sum nx^n$ [/mm] klarzukommen, schreibe das mal um in [mm] $\sum ((n+1)x^n-x^n)=...\,.$
[/mm]
Also immer versuchen, bekanntes bzw. die geometrische Reihe "reinzuschmuggeln".
P.S.
Es kann auch einen eleganteren Weg geben (vielleicht, indem man bei [mm] $\sum (n^2 x^n)$ [/mm] zweimal integriert oder so). Aber das obige sollte klappen. Du musst Dich nur an manches erinnern:
Man darf bei Potenzreihen innerhalb ... [mm] ($\leftarrow$ von was?) Integration und Summation vertauschen, weil Potenzreihen ... (wo?) gleichmäßig konvergieren...
Es gelten Rechengesetze wie: Falls $\sum a_k$ und $\sum b_k$ beide konvergent, dann auch $\sum (a_k+b_k)$ mit $\sum (a_k+b_k)=(\sum a_k)+\sum b_k\,.$ Bei Dir oben gehst Du halt manchmal dann so vor:
Du würdest gerne aus $\sum (a_k+b_k)$ sowas machen wie $(\sum a_k)+\sum b_k\,.$ Die Konvergenz von $\sum a_k$ und $\sum b_k$ ist dafür nachzuweisen, und das kannst Du auf vielerlei Art machen:
Wenn man gar keine Idee hat, versucht man's mal mit dem Wurzelkritierum (angewendet sowohl auf $\sum a_k$ als auch auf $\sum b_k$).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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huhu,
> bei der zweiten Reihe klappt das so jedenfalls doch
> wunderbar:
> [mm](\sum_{n=1}^\infty x^n/n)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n} x^{n-1}=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm]
>
> Denke nun rechterhand an die geometrische Reihe (dann steht
> da der Summand [mm]1/(1-x)[/mm]) und dann verwende den HDI. Einziger
> Haken oben: Du musst auch begründen, "warum Du die
> Differentiation in die Reihe reinziehen darfst". Habt Ihr
> denn schon Potenzreihen behandelt?
Potenzreihen haben wir shcon ein bisschen gemacht. Wieso aber hier ein Integral reinbringen? Ich hab noch nie bei einer Summe ein Integral gehabt. Bzw. wenn ich [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] habe, wieso ist das nicht mein Endergebnis einfach?
>
> Bei der ersten Reihe kannst Du etwa so vorgehen (auch hier
> sind aber Schritte zu begründen!):
> [mm]\sum n^2 x^n=(\sum (x^{n+2}))''-\sum (3n x^n)-\sum (2x^n)\,.[/mm]
Oh Gott oh Gott. Wie kommst du auf diese Summen?^^ Das kann ich nicht nachvollziehen ;(
> Und um dabei mit [mm]\sum nx^n[/mm] klarzukommen, schreibe das mal
> um in [mm]\sum ((n-1)x^n+x^n)=...\,.[/mm]
>
> Also immer versuchen, bekanntes bzw. die geometrische Reihe
> "reinzuschmuggeln".
>
> P.S.
> Es kann auch einen eleganteren Weg geben (vielleicht,
> indem man bei [mm]\sum (n^2 x^n)[/mm] zweimal integriert oder so).
> Aber das obige sollte klappen. Du musst Dich nur an manches
> erinnern:
> Man darf bei Potenzreihen innerhalb ... ([mm]\leftarrow[/mm] von
> was?) Integration und Summation vertauschen, weil
> Potenzreihen ... (wo?) gleichmäßig konvergieren...
Wie gesagt, ich weiß nicht wie man hier auf Integration kommt. Bei Summen kenn ich das nicht.
> Es gelten Rechengesetze wie: Falls [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> beide konvergent, dann auch [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] mit [mm]\sum (a_k+b_k)=(\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm]
> Bei Dir oben gehst Du halt manchmal dann so vor:
> Du würdest gerne aus [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] sowas machen wie
> [mm](\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm] Die Konvergenz von [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> ist dafür nachzuweisen, und das kannst Du auf vielerlei
> Art machen:
> Wenn man gar keine Idee hat, versucht man's mal mit dem
> Wurzelkritierum (angewendet sowohl auf [mm]\sum a_k[/mm] als auch
> auf [mm]\sum b_k[/mm]).
Zum Glück muss man ja gar keine Konvergenz beweisen... oder?^^
> Gruß,
> Marcel
Gruß zurück ;)
Eve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> huhu,
>
>
> > bei der zweiten Reihe klappt das so jedenfalls doch
> > wunderbar:
> > [mm](\sum_{n=1}^\infty x^n/n)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n} x^{n-1}=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm]
>
> >
> > Denke nun rechterhand an die geometrische Reihe (dann steht
> > da der Summand [mm]1/(1-x)[/mm]) und dann verwende den HDI.
> Einziger
> > Haken oben: Du musst auch begründen, "warum Du die
> > Differentiation in die Reihe reinziehen darfst". Habt Ihr
> > denn schon Potenzreihen behandelt?
> Potenzreihen haben wir shcon ein bisschen gemacht. Wieso
> aber hier ein Integral reinbringen? Ich hab noch nie bei
> einer Summe ein Integral gehabt. Bzw. wenn ich
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] habe, wieso ist das nicht mein Endergebnis
> einfach?
weil wir oben nur sehen/nachgerechnet haben (und das bisher noch nicht ganz sauber, denn wie gesagt: da sind noch Rechenschritte zu begründen):
Ist (die auf $|x| < [mm] 1\,$ [/mm] definierte Funktion) [mm] $f(x):=\sum_{n=1} \frac{1}{n}x^n\,,$ [/mm] so folgt (auf [mm] $|x|<1\,$) $f'(x)=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.$ [/mm] Du kannst nun [mm] $f'\,$ [/mm] so umschreiben, dass Du eine Funktion siehst, für die Du eine Stammfunktion angeben kannst - bis auf eine Konstante ist diese eindeutig. Die Konstante berechnet man aber wegen [mm] $f(0)=0\,$ [/mm] dann zu [mm] $0\,.$ [/mm]
Dazu brauchst Du halt den HDI (jedenfalls wäre das mein Vorschlag, um weiterzukommen).
> >
> > Bei der ersten Reihe kannst Du etwa so vorgehen (auch hier
> > sind aber Schritte zu begründen!):
> > [mm]\sum n^2 x^n=(\sum (x^{n+2}))''-\sum (3n x^n)-\sum (2x^n)\,.[/mm]
>
> Oh Gott oh Gott. Wie kommst du auf diese Summen?^^ Das
> kann ich nicht nachvollziehen ;(
Nunja (die folgende Symbolik für "die Ableitung eines Monoms/einer (gewissen) Funktion" sollte Dir vertraut sein):
[mm] $$((x^{n+2})')'=((n+2)x^{n+1})'=(n+2)(n+1)x^n=n^2x^n+3nx^n+2x^n\,,$$
[/mm]
das solltest Du nachrechnen können. Danach ist das nur noch umstellen und benutzen der Konvergenz der auftretenden Reihen (um Rechenregeln für konvergente Reihen anwenden zu können).
> > Und um dabei mit [mm]\sum nx^n[/mm] klarzukommen, schreibe das mal
> > um in [mm]\sum ((n-1)x^n+x^n)=...\,.[/mm]
Hier hatte ich Verschreiber: Sinnvoller solltest Du das in
[mm] $$\sum((n\red{\;+\;}1)x^n\red{\;-\;}x^n)$$
[/mm]
umschreiben (habe ich eben noch editiert)!
> > Also immer versuchen, bekanntes bzw. die geometrische Reihe
> > "reinzuschmuggeln".
> >
> > P.S.
> > Es kann auch einen eleganteren Weg geben (vielleicht,
> > indem man bei [mm]\sum (n^2 x^n)[/mm] zweimal integriert oder so).
> > Aber das obige sollte klappen. Du musst Dich nur an manches
> > erinnern:
> > Man darf bei Potenzreihen innerhalb ... ([mm]\leftarrow[/mm] von
> > was?) Integration und Summation vertauschen, weil
> > Potenzreihen ... (wo?) gleichmäßig konvergieren...
> Wie gesagt, ich weiß nicht wie man hier auf Integration
> kommt. Bei Summen kenn ich das nicht.
> > Es gelten Rechengesetze wie: Falls [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> > beide konvergent, dann auch [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] mit [mm]\sum (a_k+b_k)=(\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm]
> > Bei Dir oben gehst Du halt manchmal dann so vor:
> > Du würdest gerne aus [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] sowas machen wie
> > [mm](\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm] Die Konvergenz von [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> > ist dafür nachzuweisen, und das kannst Du auf vielerlei
> > Art machen:
> > Wenn man gar keine Idee hat, versucht man's mal mit dem
> > Wurzelkritierum (angewendet sowohl auf [mm]\sum a_k[/mm] als auch
> > auf [mm]\sum b_k[/mm]).
> Zum Glück muss man ja gar keine
> Konvergenz beweisen... oder?^^
Wenn Du aus [mm] $\sum [/mm] (n [mm] x^n)$ [/mm] nun [mm] $(\sum (n+1)x^n)-\sum x^n$ [/mm] machen willst/sollst, dann schon.
Wie gesagt: Hier kann man auch "schneller" argumentieren - also nicht unbedingt nochmal das Wurzelkriterium anwenden. Das hängt nämlich ein wenig davon ab, was ihr über Potenzreihen wißt (innerhalb des Konvergenzkreises [mm] $\infty$-oft [/mm] (stetig-)differenzierbar...). Aber je nachdem, wie ihr das dann bewiesen habt, habt ihr da eh das Wurzelkriterium auch mal angewendet und auch sowas wie [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ verwendet.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > huhu,
> >
> >
> > > bei der zweiten Reihe klappt das so jedenfalls doch
> > > wunderbar:
> > > [mm](\sum_{n=1}^\infty x^n/n)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n} x^{n-1}=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Denke nun rechterhand an die geometrische Reihe (dann steht
> > > da der Summand [mm]1/(1-x)[/mm]) und dann verwende den HDI.
> > Einziger
> > > Haken oben: Du musst auch begründen, "warum Du die
> > > Differentiation in die Reihe reinziehen darfst". Habt Ihr
> > > denn schon Potenzreihen behandelt?
> > Potenzreihen haben wir shcon ein bisschen gemacht. Wieso
> > aber hier ein Integral reinbringen? Ich hab noch nie bei
> > einer Summe ein Integral gehabt. Bzw. wenn ich
> > [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] habe, wieso ist das nicht mein Endergebnis
> > einfach?
>
> weil wir oben nur sehen/nachgerechnet haben (und das bisher
> noch nicht ganz sauber, denn wie gesagt: da sind noch
> Rechenschritte zu begründen):
> Ist (die auf [mm]|x| < 1\,[/mm] definierte Funktion)
> [mm]f(x):=\sum_{n=1} \frac{1}{n}x^n\,,[/mm] so folgt (auf [mm]|x|<1\,[/mm])
> [mm]f'(x)=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm] Du kannst nun [mm]f'\,[/mm] so
> umschreiben, dass Du eine Funktion siehst, für die Du eine
> Stammfunktion angeben kannst - bis auf eine Konstante ist
> diese eindeutig. Die Konstante berechnet man aber wegen
> [mm]f(0)=0\,[/mm] dann zu [mm]0\,.[/mm]
> Dazu brauchst Du halt den HDI (jedenfalls wäre das mein
> Vorschlag, um weiterzukommen).
Also muss ich als Rückschritt nach dem Differenzieren zurückintegrieren?
Ich verstehe es so:f'(x) = [mm] \sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,. [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] und dies muss ich dann integrieren richtig?
>
> > >
> > > Bei der ersten Reihe kannst Du etwa so vorgehen (auch hier
> > > sind aber Schritte zu begründen!):
> > > [mm]\sum n^2 x^n=(\sum (x^{n+2}))''-\sum (3n x^n)-\sum (2x^n)\,.[/mm]
>
Hier zu meiner Erinnerung: es gibt 3 Arten geometrischer Summenformeln die da waren:
[mm] \summe q^n [/mm] wie oben, [mm] \summe nq^n [/mm] ware glaub ich [mm] \bruch{q}{(1-q)^2} [/mm] und [mm] \summe (n+1)q^n [/mm] war [mm] \bruch{1}{(1-q)^2}
[/mm]
oder?^^
> > Oh Gott oh Gott. Wie kommst du auf diese Summen?^^ Das
> > kann ich nicht nachvollziehen ;(
>
> Nunja (die folgende Symbolik für "die Ableitung eines
> Monoms/einer (gewissen) Funktion" sollte Dir vertraut
> sein):
>
> [mm]((x^{n+2})')'=((n+2)x^{n+1})'=(n+2)(n+1)x^n=n^2x^n+3nx^n+2x^n\,,[/mm]
Jop, nachvollzogen^^
> das solltest Du nachrechnen können. Danach ist das nur
> noch umstellen und benutzen der Konvergenz der auftretenden
> Reihen (um Rechenregeln für konvergente Reihen anwenden zu
> können).
>
> > > Und um dabei mit [mm]\sum nx^n[/mm] klarzukommen, schreibe das mal
> > > um in [mm]\sum ((n-1)x^n+x^n)=...\,.[/mm]
>
> Hier hatte ich Verschreiber: Sinnvoller solltest Du das in
> [mm]\sum((n\red{\;+\;}1)x^n\red{\;-\;}x^n)[/mm]
> umschreiben (habe ich eben noch editiert)!
>
> > > Also immer versuchen, bekanntes bzw. die geometrische Reihe
> > > "reinzuschmuggeln".
> > >
> > > P.S.
> > > Es kann auch einen eleganteren Weg geben
> (vielleicht,
> > > indem man bei [mm]\sum (n^2 x^n)[/mm] zweimal integriert oder so).
> > > Aber das obige sollte klappen. Du musst Dich nur an manches
> > > erinnern:
> > > Man darf bei Potenzreihen innerhalb ... ([mm]\leftarrow[/mm]
> von
> > > was?) Integration und Summation vertauschen, weil
> > > Potenzreihen ... (wo?) gleichmäßig konvergieren...
> > Wie gesagt, ich weiß nicht wie man hier auf
> Integration
> > kommt. Bei Summen kenn ich das nicht.
> > > Es gelten Rechengesetze wie: Falls [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> > > beide konvergent, dann auch [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] mit [mm]\sum (a_k+b_k)=(\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm]
> > > Bei Dir oben gehst Du halt manchmal dann so vor:
> > > Du würdest gerne aus [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] sowas machen
> wie
> > > [mm](\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm] Die Konvergenz von [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> > > ist dafür nachzuweisen, und das kannst Du auf vielerlei
> > > Art machen:
> > > Wenn man gar keine Idee hat, versucht man's mal mit
> dem
> > > Wurzelkritierum (angewendet sowohl auf [mm]\sum a_k[/mm] als auch
> > > auf [mm]\sum b_k[/mm]).
> > Zum Glück muss man ja gar keine
> > Konvergenz beweisen... oder?^^
>
> Wenn Du aus [mm]\sum (n x^n)[/mm] nun [mm](\sum (n+1)x^n)-\sum x^n[/mm]
> machen willst/sollst, dann schon.
>
> Wie gesagt: Hier kann man auch "schneller" argumentieren -
> also nicht unbedingt nochmal das Wurzelkriterium anwenden.
> Das hängt nämlich ein wenig davon ab, was ihr über
> Potenzreihen wißt (innerhalb des Konvergenzkreises
> [mm]\infty[/mm]-oft (stetig-)differenzierbar...). Aber je nachdem,
> wie ihr das dann bewiesen habt, habt ihr da eh das
> Wurzelkriterium auch mal angewendet und auch sowas wie
> [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm] verwendet.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > huhu,
> > >
> > >
> > > > bei der zweiten Reihe klappt das so jedenfalls doch
> > > > wunderbar:
> > > > [mm](\sum_{n=1}^\infty x^n/n)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n} x^{n-1}=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > Denke nun rechterhand an die geometrische Reihe (dann steht
> > > > da der Summand [mm]1/(1-x)[/mm]) und dann verwende den HDI.
> > > Einziger
> > > > Haken oben: Du musst auch begründen, "warum Du die
> > > > Differentiation in die Reihe reinziehen darfst". Habt Ihr
> > > > denn schon Potenzreihen behandelt?
> > > Potenzreihen haben wir shcon ein bisschen gemacht. Wieso
> > > aber hier ein Integral reinbringen? Ich hab noch nie bei
> > > einer Summe ein Integral gehabt. Bzw. wenn ich
> > > [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] habe, wieso ist das nicht mein Endergebnis
> > > einfach?
> >
> > weil wir oben nur sehen/nachgerechnet haben (und das bisher
> > noch nicht ganz sauber, denn wie gesagt: da sind noch
> > Rechenschritte zu begründen):
> > Ist (die auf [mm]|x| < 1\,[/mm] definierte Funktion)
> > [mm]f(x):=\sum_{n=1} \frac{1}{n}x^n\,,[/mm] so folgt (auf [mm]|x|<1\,[/mm])
> > [mm]f'(x)=\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm] Du kannst nun [mm]f'\,[/mm] so
> > umschreiben, dass Du eine Funktion siehst, für die Du eine
> > Stammfunktion angeben kannst - bis auf eine Konstante ist
> > diese eindeutig. Die Konstante berechnet man aber wegen
> > [mm]f(0)=0\,[/mm] dann zu [mm]0\,.[/mm]
> > Dazu brauchst Du halt den HDI (jedenfalls wäre das mein
> > Vorschlag, um weiterzukommen).
>
> Also muss ich als Rückschritt nach dem Differenzieren
> zurückintegrieren?
so kann man das quasi sagen. Mathematischer:
Wenn Du weißt, dass (hier auf $|x| [mm] <1\,\,$) $f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{1}{1-x}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $f\,$ [/mm] EINE Stammfunktion von [mm] $f'\,$ [/mm] (auf $|x| [mm] <1\,,$ [/mm] bzw. schöner ausgedrückt: auf [mm] $(-1,\,1)$).
[/mm]
> Ich verstehe es so:f'(x) = [mm]\sum_{\ell=0}^\infty x^\ell\,.[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
Das [mm] $q\,$ [/mm] am Ende ist natürlich Deine Variable [mm] $x\,.$
[/mm]
> und dies muss ich dann integrieren
> richtig?
Genau. Und dabei beachte: [mm] $\int \frac{h'(x)}{h(x)}dx=\ln(h(x))\;(+\text{konstante (Funktion)})$ [/mm] - das bekommt man etwa mit Substitution raus, oder man leitet einfach die rechte Seite ab, und sieht, dass der Integrand linkerhand entsteht. Und wie gesagt: EINE Stammfunktion ist nur eindeutig bis auf eine konstante (=konstante Funktion).
> > > >
> > > > Bei der ersten Reihe kannst Du etwa so vorgehen (auch hier
> > > > sind aber Schritte zu begründen!):
> > > > [mm]\sum n^2 x^n=(\sum (x^{n+2}))''-\sum (3n x^n)-\sum (2x^n)\,.[/mm]
>
> >
> Hier zu meiner Erinnerung: es gibt 3 Arten geometrischer
> Summenformeln die da waren:
>
> [mm]\summe q^n[/mm] wie oben,
Ja, allgemeiner [mm] $\sum_{n=N}^\infty q^n=\frac{q^{N}}{1-q}\,$ [/mm] - allerdings für $|q| < [mm] 1\,.$
[/mm]
> [mm]\summe nq^n[/mm] ware glaub ich
> [mm]\bruch{q}{(1-q)^2}[/mm]
Nunja, ich kenne eigentlich nur die erste Formel (die ich mir leicht herleiten kann), und den Rest kann man nachrechnen:
[mm] $$(\sum_{n=0}^\infty x^n)'=\left(\frac{1}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}\,,$$
[/mm]
und zudem ist
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty (nx^n)=x*\sum_{n=1}^\infty (nx^{n-1})=x*(\sum_{n=0}^\infty x^n)'\,.$$
[/mm]
Daraus folgt in der Tat [mm] $\sum_{n=0}^\infty (nx^n)=\frac{x}{(1-x)^2}$ [/mm] für [mm] $|x|<1\,.$
[/mm]
> und [mm]\summe (n+1)q^n[/mm] war
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^2}[/mm]
> oder?^^
Na das ist nun einfach eine Verknüpfung der obigen Erkenntnisse:
[mm] $$\sum (n+1)q^n=(\sum nq^n)+\sum q^n=\frac{q}{(1-q)^2}+\frac{1}{1-q}=\frac{q+(1-q)}{(1-q)^2}=\frac{1}{(1-q)^2}$$
[/mm]
auf $|q| < [mm] 1\,.$ [/mm] Also für diese Formeln zu behalten muss man eigentlich nur die Formel für [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n=1/(1-q)$ [/mm] auf $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] kennen - und man muss ein wenig ableiten können - eigentlich sollte man dabei begründen, warum man gewisse "Prozesse hier dabei vertauschen darf", aber man kann es ja auch erst mal einfach so tun, in der Hoffnung, eine brauchbare Formel am Ende zu erhalten!
P.S.
Anstatt meines "komplizierten" Vorschlages [mm] $\sum nx^n=\sum ((n+1)-1)x^n=\ldots [/mm] $ zu benutzen, kannst Du auch so vorgehen, wie ich es nun hier gemacht habe, bzw. analog dazu, also :
[mm] $$\sum (nx^n)=x*\sum (nx^{n-1})=x*\sum (x^n)'=x*(\sum x^n)'$$
[/mm]
benutzen (auf [mm] $|x|<1\,$).
[/mm]
> > > Oh Gott oh Gott. Wie kommst du auf diese Summen?^^ Das
> > > kann ich nicht nachvollziehen ;(
> >
> > Nunja (die folgende Symbolik für "die Ableitung eines
> > Monoms/einer (gewissen) Funktion" sollte Dir vertraut
> > sein):
> >
> >
> [mm]((x^{n+2})')'=((n+2)x^{n+1})'=(n+2)(n+1)x^n=n^2x^n+3nx^n+2x^n\,,[/mm]
>
> Jop, nachvollzogen^^
Sehr gut!! 
Gruß,
Marcel
> > das solltest Du nachrechnen können. Danach ist das nur
> > noch umstellen und benutzen der Konvergenz der auftretenden
> > Reihen (um Rechenregeln für konvergente Reihen anwenden zu
> > können).
> >
> > > > Und um dabei mit [mm]\sum nx^n[/mm] klarzukommen, schreibe das mal
> > > > um in [mm]\sum ((n-1)x^n+x^n)=...\,.[/mm]
> >
> > Hier hatte ich Verschreiber: Sinnvoller solltest Du das in
> > [mm]\sum((n\red{\;+\;}1)x^n\red{\;-\;}x^n)[/mm]
> > umschreiben (habe ich eben noch editiert)!
> >
> > > > Also immer versuchen, bekanntes bzw. die geometrische Reihe
> > > > "reinzuschmuggeln".
> > > >
> > > > P.S.
> > > > Es kann auch einen eleganteren Weg geben
> > (vielleicht,
> > > > indem man bei [mm]\sum (n^2 x^n)[/mm] zweimal integriert oder so).
> > > > Aber das obige sollte klappen. Du musst Dich nur an manches
> > > > erinnern:
> > > > Man darf bei Potenzreihen innerhalb ...
> ([mm]\leftarrow[/mm]
> > von
> > > > was?) Integration und Summation vertauschen, weil
> > > > Potenzreihen ... (wo?) gleichmäßig konvergieren...
> > > Wie gesagt, ich weiß nicht wie man hier auf
> > Integration
> > > kommt. Bei Summen kenn ich das nicht.
> > > > Es gelten Rechengesetze wie: Falls [mm]\sum a_k[/mm] und
> [mm]\sum b_k[/mm]
> > > > beide konvergent, dann auch [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] mit [mm]\sum (a_k+b_k)=(\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm]
> > > > Bei Dir oben gehst Du halt manchmal dann so vor:
> > > > Du würdest gerne aus [mm]\sum (a_k+b_k)[/mm] sowas machen
> > wie
> > > > [mm](\sum a_k)+\sum b_k\,.[/mm] Die Konvergenz von [mm]\sum a_k[/mm] und [mm]\sum b_k[/mm]
> > > > ist dafür nachzuweisen, und das kannst Du auf vielerlei
> > > > Art machen:
> > > > Wenn man gar keine Idee hat, versucht man's mal
> mit
> > dem
> > > > Wurzelkritierum (angewendet sowohl auf [mm]\sum a_k[/mm] als auch
> > > > auf [mm]\sum b_k[/mm]).
> > > Zum Glück muss man ja gar
> keine
> > > Konvergenz beweisen... oder?^^
> >
> > Wenn Du aus [mm]\sum (n x^n)[/mm] nun [mm](\sum (n+1)x^n)-\sum x^n[/mm]
> > machen willst/sollst, dann schon.
> >
> > Wie gesagt: Hier kann man auch "schneller" argumentieren -
> > also nicht unbedingt nochmal das Wurzelkriterium anwenden.
> > Das hängt nämlich ein wenig davon ab, was ihr über
> > Potenzreihen wißt (innerhalb des Konvergenzkreises
> > [mm]\infty[/mm]-oft (stetig-)differenzierbar...). Aber je nachdem,
> > wie ihr das dann bewiesen habt, habt ihr da eh das
> > Wurzelkriterium auch mal angewendet und auch sowas wie
> > [mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm] verwendet.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
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Okay nach vielen Nachdenken hab ich meine 4 Summen von 4 Reihen berechnet..^^ Nochmals vielen dank! ;)
Ohne dich hätte ich das Differenzieren und Integrieren bei Reihen niemals verstanden;P
Lg,
Eve
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