Summe der Teiler < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=wellac3d6.jpg |
Ich soll die a, b und c beweisen, aber habe keine Ahnung, wie ich da beginnen soll, kann ja eine Primzahl schlecht ausdrücken, wie z.B. eine ungerade Zahl durch 2n+1. Hat jemand einen Tipp? Wusste nicht genau, wo das hingehört.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> http://www.myimg.de/?img=wellac3d6.jpg
> Ich soll die a, b und c beweisen, aber habe keine Ahnung,
> wie ich da beginnen soll, kann ja eine Primzahl schlecht
> ausdrücken, wie z.B. eine ungerade Zahl durch 2n+1. Hat
> jemand einen Tipp?
Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und durch 1 teilbar. Damit ist [mm] $\sigma(p) [/mm] = 1 + p$, so als Beispiel.
Um jetzt etwa [mm] $\sigma(p \cdot [/mm] q)$ mit zwei (verschiedenen) Primzahlen $p$ und $q$ auszurechnen, musst du die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] beachten. Jeder Teiler von [mm] $2^5 \cdot 3^7$ [/mm] hat z.B. die Form [mm] $2^a \cdot 3^b$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 5$ und $0 [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] 7$.
> Wusste nicht genau, wo das hingehört.
Das gehoert in die (elementare) Zahlentheorie. Ich hab's mal dorthin geschoben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe den Punkt mit der Primfaktorzerlegung nicht. Ich kann doch eine Primzahl nur in sich selbst zerlegen, um das mal so zusagen.
Ich hätte doch:
[mm] \sigma(p*q)=1+p+q
[/mm]
Nur wie kann ich zeigen, dass das gerade ist? Irgendwie müsste ich daraus eine 2 ausklammern. Die Tatsache, dass 2 ungerade Zahlen addiert immer eine gerade Zahl ergeben, zeigt uns das ganze doch schon oder? 1 ist ungerade und das + q, dann erhalte ich doch eine gerade Zahl. Nur wäre, wenn ich nun wieder eine Primzahl aufaddiere, das ganze doch wieder ungerade oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich verstehe den Punkt mit der Primfaktorzerlegung nicht.
> Ich kann doch eine Primzahl nur in sich selbst zerlegen, um
> das mal so zusagen.
>
> Ich hätte doch:
>
> [mm]\sigma(p*q)=1+p+q[/mm]
Nein. Du hast einen Teiler vergessen.
Mach das doch mal konkret mit $p = 3$ und $q = 5$. Welche Teiler hat $3 [mm] \cdot [/mm] 5 = 15$? Finde alle Zahlen $x [mm] \in \{ 1, 2, 3, \dots, 14, 15 \}$, [/mm] die $15$ teilen. Du wirst sehen: das sind nicht nur 1, 3 und 5.
> Nur wie kann ich zeigen, dass das gerade ist? Irgendwie
> müsste ich daraus eine 2 ausklammern. Die Tatsache, dass 2
> ungerade Zahlen addiert immer eine gerade Zahl ergeben,
> zeigt uns das ganze doch schon oder? 1 ist ungerade und das
> + q, dann erhalte ich doch eine gerade Zahl.
Ja. Also $1 + q$ ist gerade. Aber da steht nicht nur $1 + q$.
> Nur wäre,
> wenn ich nun wieder eine Primzahl aufaddiere, das ganze
> doch wieder ungerade oder sehe ich das falsch?
Ja, $1 + p + q$ ist ungerade, falls $p$ und $q$ ungerade Zahlen sind. Aber du hast ja noch nicht alle Teiler.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Achja, klar, es muss lauten:
[mm] \sigma(p*q)=1+p+q+(p*q)
[/mm]
Jetzt könnte ich argumentieren:
Bekannt ist, dass das Produkt von zwei ungeraden Zahlen (p*q) ungerade ist. p+(p*q) ist demnach gerade da 2 ungerade Zahlen addiert eine gerade ergeben. Eine gerade Zahl mit einer ungeraden addiert p+q+(p*q) ergibt eine ungerade und eine ungerade Zahl +1 ergibt eine gerade somit ist 1+p+q+(p*q) immer gerade. Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achja, klar, es muss lauten:
>
> [mm]\sigma(p*q)=1+p+q+(p*q)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt könnte ich argumentieren:
>
> Bekannt ist, dass das Produkt von zwei ungeraden Zahlen
> (p*q) ungerade ist. p+(p*q) ist demnach gerade da 2
> ungerade Zahlen addiert eine gerade ergeben. Eine gerade
> Zahl mit einer ungeraden addiert p+q+(p*q) ergibt eine
> ungerade und eine ungerade Zahl +1 ergibt eine gerade somit
> ist 1+p+q+(p*q) immer gerade. Korrekt?
Ja, das stimmt so.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, nun zur Frage b:
[mm] \sigma(p^2)=1+p+p^2
[/mm]
Bekannt ist, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade ist, wenn ich nun [mm] p+p^2 [/mm] nehme, dann erhalte ich eine gerade Zahl und eine gerade Zahl +1 ist eine ungerade Zahl. Das muss stimmen.
Nun zur c:
[mm] \sigma(2^a*p^2)=1+2^a+p+p^2
[/mm]
Wir wissen, dass [mm] p^2 [/mm] eine ungerade Zahl ist, somit ist [mm] p+p^2 [/mm] eine gerade Zahl, also folgt, da [mm] 2^a [/mm] immer gerade ist, dass [mm] 2^a+p+p^2 [/mm] gerade ist und das ganze +1 ist somit ungerade.
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gut, nun zur Frage b:
>
> [mm]\sigma(p^2)=1+p+p^2[/mm]
>
> Bekannt ist, dass das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade
> ist, wenn ich nun [mm]p+p^2[/mm] nehme, dann erhalte ich eine gerade
> Zahl und eine gerade Zahl +1 ist eine ungerade Zahl. Das
> muss stimmen.
Ja.
> Nun zur c:
>
> [mm]\sigma(2^a*p^2)=1+2^a+p+p^2[/mm]
Hier hast du wieder sehr viele Teiler weggelassen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Also bezüglich dem p müsste ich alle erwischt haben, ich nehme an, dass ich noch auf das [mm] 2^a [/mm] achten muss. Wie kann ich das berücksichtigen? Für a=2 hätte ich ja 2 und 4 noch drin und für a=3 noch 8 und immer so weiter. Wie kann ich das berücksichtigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mi 25.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also bezüglich dem p müsste ich alle erwischt haben, ich
> nehme an, dass ich noch auf das [mm]2^a[/mm] achten muss. Wie kann
> ich das berücksichtigen? Für a=2 hätte ich ja 2 und 4
> noch drin und für a=3 noch 8 und immer so weiter. Wie kann
> ich das berücksichtigen?
durch (Auf-)Zählen von Zweierpotenzen?
Für eine natürliche Zahl [mm] $n\,$ [/mm] ist
[mm] $$2^n$$
[/mm]
ist doch auch durch alle [mm] $2^k$ [/mm] mit $k [mm] \in \IN$ [/mm] und $k [mm] \le [/mm] n$ teilbar - so wie Du es oben andeutest.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Do 26.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Ich bekomme die fehlenden Teiler nicht ausgedrückt, ansich kann ich das doch auch gar nicht, da ich nicht weiß wie groß a ist oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Do 26.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube ich stehe gerade auf dem Schlauch.
>
> Ich bekomme die fehlenden Teiler nicht ausgedrückt, ansich
> kann ich das doch auch gar nicht, da ich nicht weiß wie
> groß a ist oder sehe ich das falsch?
das ist doch wurscht, wie groß [mm] $a\,$ [/mm] ist. Es ist $a [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dann weißt Du sicher, dass die Menge
[mm] $$\{2^0,2^1,\ldots,2^{a-1},2^a\}$$
[/mm]
alle Teiler von [mm] $2^a$ [/mm] enthält. Ob's von Bedeutung für Dich ist, weiß ich nicht, ich habe die Aufgabe nicht ganz verfolgt, aber was ich sehe, ist, dass die Anzahl der Teiler (im Sinne von: Anzahl der Elemente der obigen Menge) ungerade ist, wenn [mm] $a\,$ [/mm] gerade ist, und die Anzahl der Teiler ist gerade, wenn [mm] $a\,$ [/mm] ungerade. Das zu beweisen ist nicht schwer.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Do 26.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Komisch, ich soll aber zeigen, dass dies immer ungerade ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Do 26.01.2012 | | Autor: | abakus |
Sämtlich Teiler enthalten entweder den Faktor 2 (eventuell mehrmals) und sind demzufolge alle gerade, oder sie enthalten den Faktor 2 nicht und sind demzufolge ungerade.
Die Summe aller Teiler besteht somit aus einigen geraden Zahlen (die keinen Einfluss auf gerade/ungerade haben) und einigen ungeraden Zahlen (deren Anzahl für das Gesamtverhalten der Summe wesentlich ist).
Gruß Abakus
> Komisch, ich soll aber zeigen, dass dies immer ungerade
> ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Do 26.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Komisch, ich soll aber zeigen, dass dies immer ungerade
> ist.
Sollst du nicht. Lies dir nochmal die Aufgabenstellung durch!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Do 26.01.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich denke ich weiß nun wie ich argumentiere, muss ja die Teile nicht explizit nennen, die Teiler von [mm] 2^a [/mm] sind ja addiert immer gerade und wenn ich das mit einer ungeraden Zahl [mm] p^2 [/mm] addiere wird es wieder ungerade. Passt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Sa 28.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, ich denke ich weiß nun wie ich argumentiere, muss ja
> die Teile nicht explizit nennen, die Teiler von [mm]2^a[/mm] sind ja
> addiert immer gerade
Nein. Sie sind immer ungerade, da 1 immer mit dabei ist.
> und wenn ich das mit einer ungeraden
> Zahl [mm]p^2[/mm] addiere wird es wieder ungerade. Passt.
Und was ist mit $p$ selber? Und den vielen anderen Teilern?
Tu dir doch mal selber einen Gefallen und schreib alle Teiler hier hin. Und erst wenn du alle Teiler hast, dann faengst du an sie zu addieren und zu schaun ob das Ergebnis gerade oder ungerade ist.
LG Felix
PS: Tipp: es gibt $3 a + 3$ Teiler.
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