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Forum "Folgen und Reihen" - Summe einer Reihe
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Summe einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 26.11.2006
Autor: levrone

Aufgabe
best. sie den wert der reihe

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n^+^1*7^-^n [/mm]

hy  

der wert dieser reihe ist 1/8

[mm] s_n=1/7-1/7^2+1/7^3-1/7^4 [/mm]

aber wie kann ich das mathematisch begründen? muss/kann man dazu eine rechnung aufschreiben?

DANKE

mfg
levrone

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Summe einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:42 So 26.11.2006
Autor: felix024

Hallo,

führe es zurück auf die geometrische Reihe, in dem du den positiven und negativen Anteil getrennt ausrechnest.

Gruß
Felix

Bezug
                
Bezug
Summe einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 So 26.11.2006
Autor: levrone

danke

wie bringt mich die "auflösung" in pos und neg. zu dem ergebnis 1/8?

mfg
levrone

Bezug
                        
Bezug
Summe einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 So 26.11.2006
Autor: Hiroschiwa

Moin

es gibt da diese tolle Formel:

[mm] \summe_{i=s}^{\infty}a*q^k [/mm] = [mm] a*q^s*\bruch{1}{1-q} [/mm]

Jetzt guckst du dir dein ausdruck an und formst ihn so um das er in das schema [mm] \summe_{i=s}^{\infty}a*q^k [/mm] passt. dann wedest du es an und vola: 1/8

( $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n^+^1\cdot{}7^-^n [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{(-1)}{7})^{n}* [/mm] -1 $ , -1^(n+1) = [mm] (-1)^n*-1 [/mm] )

viel erfolg noch mit den Summen ;)

Bezug
                                
Bezug
Summe einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 26.11.2006
Autor: levrone

danke

$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{(-1)}{7})^{n}\cdot{} [/mm] -1 $

wie kommt man davon auf 1/8?
das verteh ich immer noch nicht...
dankeschon im voraus...

Bezug
                                        
Bezug
Summe einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 So 26.11.2006
Autor: Hiroschiwa

$ [mm] \summe_{i=s}^{\infty}a\cdot{}q^k [/mm] $ = $ [mm] a\cdot{}q^s\cdot{}\bruch{1}{1-q} [/mm] $

[mm] \bruch{-1}{7} [/mm] ist dein q, s=1 und a= (-1)
einsetzt, zusammenfasssen, fertig

Bezug
                                                
Bezug
Summe einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 So 26.11.2006
Autor: levrone

vielen dank!!!
ich war etwas verwirrt ;)

woher kommt die formel?

ich hab die nicht in meinem skriptum, welches ich jetzt beim durchsuchen fast zerfetzt habe, gefunden...

ich hab die noch nie gesehen...

danke nochmals! einen schönen sonntag noch...

mfg
levrone



Bezug
                                                        
Bezug
Summe einer Reihe: geometrische Reihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 So 26.11.2006
Autor: Loddar

Hallo levrone!


Etwas bekannter ist die Formel für die geometrische Reihe in der folgenden Form:

[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_1*q^{k-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$ [/mm]   für $|q| \ < \ 1$


Diese ergibt sich (für $|q| \ < \ 1$) aus der Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] der endlichen Summe:

[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}a_1*q^{k-1} [/mm] \ = \ [mm] a_1*\bruch{q^n-1}{q-1}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Summe einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 So 26.11.2006
Autor: levrone

danke

wenn ich aber jetzt hier meine werte einsetzte

$ [mm] s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_1\cdot{}q^{k-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q} [/mm] $

...komme ich auf -7/8 ?
wieso?
danke

Bezug
                                                                        
Bezug
Summe einer Reihe: einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 26.11.2006
Autor: Loddar

Hallo levrone!


[mm] $(-1)^{n+1}*7^{-n} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^1*(-1)^n*\bruch{1}{7^n} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*(-1)^n*\left(\bruch{1}{7}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\left(-\bruch{1}{7}\right)^n$ [/mm]

Und nun [mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] (-1)*\left(-\bruch{1}{7}\right)^1 [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{7}$ [/mm] sowie $q \ = \ [mm] -\bruch{1}{7}$ [/mm] in o.g. Formel einsetzen.


Gruß
Loddar


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