Summe von ZV + Bedingte W'keit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 So 04.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Gegeben seien [mm] p\in{(0,1)} [/mm] und eine unabhängige Folge [mm] (X_n)_{n\ge{1}} [/mm] von Zufallsvariablen [mm] X_n, [/mm] die alle bernoulli-verteilt sind mit Parameter p.
Für [mm] n\ge{1} [/mm] bezeichne [mm] Z_n:=X_1+X_2+...+X_n.
[/mm]
Seien [mm] k\in{\IN_0}, n\in{\IN} [/mm] mit [mm] k\le{n} [/mm] und [mm] a:=(a_1,...,a_n) \in{\{0, 1\}^n}.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] P[(X_1,...,X_n)=a|Z_n=k]. [/mm] |
Tag Leute,
also ich weiß bereits, dass [mm] Z_n [/mm] binomialverteilt ist und es gilt:
[mm] P[(X_1,...,X_n)=a|Z_n=k]=\bruch{P[Z_n=k|(X_1,...,X_n)=a]\cdot{}P[(X_1,...,X_n)=a]}{P[Z_n=k]}=\bruch{P[Z_n=k|(X_1,...,X_n)=a]\cdot{}p^n}{{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}}=?
[/mm]
Ich hab hierbei Schwierigkeiten mit der Berechnung der W'keiten [mm] P[Z_n=k|(X_1,...,X_n)=a] [/mm] und [mm] P[(X_1,...,X_n)=a] [/mm] im Zähler.
Wär nett, wenn da jemand an Tipp hätte wie ich da rangehen muss.
Besten Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:26 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben seien [mm]p\in{(0,1)}[/mm] und eine unabhängige Folge
> [mm](X_n)_{n\ge{1}}[/mm] von Zufallsvariablen [mm]X_n,[/mm] die alle
> bernoulli-verteilt sind mit Parameter p.
> Für [mm]n\ge{1}[/mm] bezeichne [mm]Z_n:=X_1+X_2+...+X_n.[/mm]
>
> Seien [mm]k\in{\IN_0}, n\in{\IN}[/mm] mit [mm]k\le{n}[/mm] und
> [mm]a:=(a_1,...,a_n) \in{\{0, 1\}^n}.[/mm]
> Bestimmen Sie
> [mm]P[(X_1,...,X_n)=a|Z_n=k].[/mm]
> Tag Leute,
> also ich weiß bereits, dass [mm]Z_n[/mm] binomialverteilt ist und
> es gilt:
>
> [mm]P[(X_1,...,X_n)=a|Z_n=k]=\bruch{P[Z_n=k|(X_1,...,X_n)=a]\cdot{}P[(X_1,...,X_n)=a]}{P[Z_n=k]}=\bruch{P[Z_n=k|(X_1,...,X_n)=a]\cdot{}p^n}{{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}}=?[/mm]
>
> Ich hab hierbei Schwierigkeiten mit der Berechnung der
> W'keiten [mm]P[Z_n=k|(X_1,...,X_n)=a][/mm] und [mm]P[(X_1,...,X_n)=a][/mm] im
> Zähler.
> Wär nett, wenn da jemand an Tipp hätte wie ich da
> rangehen muss.
Warum benutzt du nicht die Definition $P(A | B) = [mm] \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$? [/mm] Damit ist [mm] $P((X_1, \dots, X_n) [/mm] = a [mm] \mid Z_n [/mm] = k) = [mm] \frac{P((X_1, \dots, X_n) = a, Z_n = k)}{P(Z_n = k)}$.
[/mm]
Jetzt hast du zwei Faelle.
* Der Vektor $a$ hat genau $k$ Eintraege [mm] $\neq [/mm] 0$. Dann ist [mm] $P((X_1, \dots, X_n) [/mm] = a, [mm] Z_n [/mm] = k) = [mm] P((X_1, \dots, X_n) [/mm] = a)$.
* Der Vektor $a$ hat weniger oder mehr als $k$ Eintraege [mm] $\neq [/mm] 0$. Dann ist [mm] $P((X_1, \dots, X_n) [/mm] = a, [mm] Z_n [/mm] = k) = 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:39 Mo 05.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey des is ja klasse, vielen Dank.
Stimmt mit der Definition ist das auch um einiges klarer!
Aber was ist denn nun [mm] P((X_1, \dots, X_n) [/mm] = a)?
Da der Vektor a genau k Einträge ungleich 0 hat müsste doch [mm] P((X_1, \dots, X_n) [/mm] = [mm] a)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} [/mm] gelten oder?
Damit wäre dann für diesen Fall [mm] P[(X_1,...,X_n)=a|Z_n=k]=1.
[/mm]
Passt das dann so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:42 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hey des is ja klasse, vielen Dank.
> Stimmt mit der Definition ist das auch um einiges klarer!
>
> Aber was ist denn nun [mm]P((X_1, \dots, X_n)[/mm] = a)?
> Da der Vektor a genau k Einträge ungleich 0 hat müsste
> doch [mm]P((X_1, \dots, X_n)[/mm] = [mm]a)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}[/mm]
> gelten oder?
Nein. Das ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(Z_n [/mm] = k)$, also das [mm] $(X_1, \dots, X_n)$ [/mm] genau $k$ Einsen hat.
Du suchst aber die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $(X_1, \dots, X_n)$ [/mm] genau $k$ Einsen an festen, vorgegebenen Stellen hat. Du musst den Faktor [mm] $\binom{n}{k}$ [/mm] weglassen, dann stimmt es.
> Damit wäre dann für diesen Fall
> [mm]P[(X_1,...,X_n)=a|Z_n=k]=1.[/mm]
Das kann doch schonmal nicht passen, nimm $n = 2$, $k = 1$ und $a = (0, 1)$. Es gibt genau zwei Vektoren mit einer Eins, und die Wahrscheinlichkeit dass einer davon $a$ ist ist nicht 1, sondern [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:25 Mo 05.07.2010 | | Autor: | kegel53 |
> Das kann doch schonmal nicht passen, nimm [mm]n = 2[/mm], [mm]k = 1[/mm] und
> [mm]a = (0, 1)[/mm]. Es gibt genau zwei Vektoren mit einer Eins, und
> die Wahrscheinlichkeit dass einer davon [mm]a[/mm] ist ist nicht 1,
> sondern [mm]\frac{1}{2}[/mm].
Stimmt hast Recht! Vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:41 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Das kann doch schonmal nicht passen, nimm [mm]n = 2[/mm], [mm]k = 1[/mm] und
> > [mm]a = (0, 1)[/mm]. Es gibt genau zwei Vektoren mit einer Eins, und
> > die Wahrscheinlichkeit dass einer davon [mm]a[/mm] ist ist nicht 1,
> > sondern [mm]\frac{1}{2}[/mm].
>
>
> Stimmt hast Recht! Vielen Dank für die Hilfe!
bitte bitte :)
LG Felix
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