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Summen- und Produktzeichen: Lösung der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Do 05.07.2012
Autor: zebramann

Hallo Leute,

ich habe angefangen, aus persönlichem Interesse her Mathe zu lernen und bin noch beim elementaren Rechnen.
Eine Aufgabe habe ich der Lösung im Buch zufolge falsch gelöst.

[]Ich habe die Aufgabe als Bild hochgeladen
Es geht darum, die fehlenden Werte in die Fragezeichen einzutragen.

Unterhalb des großen Pi-Zeichens steht i=0, oberhalb des Zeichens n. Dazu ist der Index [mm] x^i. [/mm]
Da bei dem Produktzeichen i=0 angegeben ist, müsste daraus folgern: [mm] x^0 [/mm] = 1.

Von der Musterlösung bin ich insofern abgewichen, als ich 0*i als Index beim Summenzeichen geschrieben habe.

Mein Grundgedanke war: auch bei der Umformung muss [mm] x^0 [/mm] rauskommen. Doch der Lösung zufolge käme doch stattdessen x^(0+1+2+3+(n-1)+n) raus, oder nicht?

Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Summen- und Produktzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 Do 05.07.2012
Autor: ChopSuey

Hi Zebramann,

auf dem Bild steht bloß die Gleichung

$ [mm] \displaystyle \produkt_{i=0}^n{x^i} [/mm] = [mm] x^{ \displaystyle\sum_{i=0}^ni} [/mm] $

Aber weder Fragezeichen, noch eine Musterlösung.
Tipp' doch bitte die Aufgabe(nstellung) hier ab, dann wissen wir, wonach genau gefragt ist.

Anmerkung: Der (Lauf)Index ist hier jeweils $ i = 0,...,n $

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Summen- und Produktzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Do 05.07.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Leute,
>  
> ich habe angefangen, aus persönlichem Interesse her Mathe
> zu lernen und bin noch beim elementaren Rechnen.
>  Eine Aufgabe habe ich der Lösung im Buch zufolge falsch
> gelöst.
>  
> []Ich habe die Aufgabe als Bild hochgeladen
>  
> Es geht darum, die fehlenden Werte in die Fragezeichen
> einzutragen.
>  
> Unterhalb des großen Pi-Zeichens steht i=0, oberhalb des
> Zeichens n. Dazu ist der Index [mm]x^i.[/mm]

nicht [mm] $\mathbf{\red{x^i}}$ [/mm] ist der Index, sondern [mm] $\textbf{\blue{i}}$ [/mm] ist der Index. [mm] $x^i$ [/mm] ist die Zahl [mm] $x\,$ [/mm] hoch dem Index [mm] $i\,.$ [/mm] Also [mm] $x^i$ [/mm] ist für $i=0$ gerade [mm] $x^0=1\,,$ $x^i$ [/mm] ist für $i=5$ gerade [mm] $x^5\,.$ [/mm] Für [mm] $x=2\,$ [/mm] und [mm] $i=5\,$ [/mm] wäre also [mm] $x^i=2^5=32\,.$ [/mm]

>  Da bei dem Produktzeichen i=0 angegeben ist, müsste
> daraus folgern: [mm]x^0[/mm] = 1.
>  
> Von der Musterlösung bin ich insofern abgewichen, als ich
> 0*i als Index beim Summenzeichen geschrieben habe.
>
> Mein Grundgedanke war: auch bei der Umformung muss [mm]x^0[/mm]
> rauskommen. Doch der Lösung zufolge käme doch stattdessen
> x^(0+1+2+3+(n-1)+n) raus, oder nicht?

Ich versteh' die Frage nicht. Die Gleichung, die da steht, ist korrekt. Es ist im Prinzip die altbekannte Regel, die da angewendet wird:
Bei einem Produkt über endlich viele Potenzen mit gleicher Basis ist das Ergebnis die Basis hoch der Summe der Exponenten - kurz formelmäßig, ohne auf genaue Voraussetzungen einzugehen:
[mm] $$\produkt_{k=1}^n x^{a_k}\;=\;\displaystyle x^{\sum_{\ell=1}^n a_\ell}\,.$$ [/mm]

Beispiele: [mm] $x^{3/2}*x^{7/2}=x^{10/2}=x^5$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 0$) oder [mm] $2^{3}*2^{12}=2^{3+12}=2^{15}\,.$ [/mm]

Und man kann hier auch [mm] $\produkt_{i=0}^n x^i=\produkt_{i=\textbf{\red{1}}}^n x^i$ [/mm] und [mm] $\sum_{i=0}^n i=\sum_{i=\textbf{\red{1}}}^n i\;\;(\;=\;n(n+1)/2)\;$ [/mm] ausnutzen.

Denn:
Das leere Produkt ist als [mm] $1\,$ [/mm] und die leere Summe als [mm] $0\,$ [/mm] definiert, daher stimmen die Formeln für [mm] $n=0\,.$ [/mm] Weiter beachte man, dass [mm] $r^0=1\,$ [/mm] für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] (man definiert meist halt auch [mm] $0^0:=1\,,$ [/mm] bzw. würde hier mit dieser Definition arbeiten!)

Für jedes natürliche $n > [mm] 0\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\produkt_{i=0}^n x^i=x^0*\produkt_{i=1}^n x^i=1*\produkt_{i=1}^n x^i=\produkt_{i=1}^n x^i$$ [/mm]
und
[mm] $$\summe_{i=0}^n i=0+\summe_{i=1}^n i=0+\summe_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}\,,$$ [/mm]
wobei das allerletzte Gleichheitszeichen "der kleine Gauß" ist!

P.S.
Kann es sein, dass Dir die Bedeutung des Produktzeichens nicht ganz klar ist? Und auch die des Summenzeichens? Vielleicht mal zur Aufklärung bzw. zur Erinnerung nochmal alles am Summenzeichen verdeutlicht:
[mm] $$\sum_{k=1}^n a_k$$ [/mm]
bedeutet nichts anderes als [mm] $a_1+a_2+...+a_n\,,$ [/mm] was man auch (da man hier endlich vielen Summanden hat) schreiben könnte als
[mm] $$\sum_{k \in \{p \in \IN: \;p \le n\}}a_k$$ [/mm]
oder
[mm] $$\sum_{k \in \{1,...,n\}}a_k\,.$$ [/mm]
(Beachte, dass bei mir [mm] $\IN=\IN \setminus \{0\}\,,$ [/mm] also die Null nicht zu [mm] $\IN$ [/mm] gehören soll.)
(Die letzten beiden Schreibweisen sind wohldefiniert, da es bei einer Summe über endlich viele reelle (oder auch komplexe) Zahlen nicht auf die Reihenfolge der Summation ankommt - beachte allg. Assoziativ- und auch das allg. Kommutativgesetz!)

Analoges für das Produkt.

Gruß,
  Marcel

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