Summen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Fr 14.10.2011 | | Autor: | E-fun |
| Aufgabe | Diese alternierende Reihe soll auf Konvergenz geprüft werden:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k-ln(k)} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe meine Schwierigkeiten mit den Summen und der Konvergenz.
Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Eine Frage von mir wäre, ob ich für die Anwendung des Quotientenkriteriums den Index der Summe auf 0 verschieben muss?
In meinen Unterlagen ist die formale Definition mit einer 0 und ein Beispiel für die Anwendung mit einem Index 1.
Was nun?
Was bringt mir das Leibnitz-Kriterium für alternierende Reihen, wenn ich damit nicht nachweisen kann ob die Reihe konvergiert. Was ich meine ist, dass ich die Reihe nicht bis ins unendliche kontrollieren kann. Es kann ja sein, dass die ersten z.B. 20 Glieder monoton fallen und dass 21. Glied steigt.
Mir schaut es so aus, dass ich für die Konvergenzuntersuchung nur mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium eine Aussage erreiche.
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Hallo E-fun,
> Diese alternierende Reihe soll auf Konvergenz geprüft
> werden:
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> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{(-1)^{k-1}}{k-ln(k)}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> habe meine Schwierigkeiten mit den Summen und der
> Konvergenz.
> Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
>
> Eine Frage von mir wäre, ob ich für die Anwendung des
> Quotientenkriteriums den Index der Summe auf 0 verschieben
> muss?
> In meinen Unterlagen ist die formale Definition mit einer
> 0 und ein Beispiel für die Anwendung mit einem Index 1.
> Was nun?
Nein, Du brauchst den Index nicht zu verschieben. Interessant ist doch nur das Verhalten für [mm] k\to\infty.
[/mm]
> Was bringt mir das Leibnitz-Kriterium für alternierende
> Reihen, wenn ich damit nicht nachweisen kann ob die Reihe
> konvergiert. Was ich meine ist, dass ich die Reihe nicht
> bis ins unendliche kontrollieren kann. Es kann ja sein,
> dass die ersten z.B. 20 Glieder monoton fallen und dass 21.
> Glied steigt.
Na, das kannst Du hier aber sehr leicht ausschließen. Dass die (nicht alternierende) Folge streng monoton fallend ist, ist doch recht leicht zu zeigen. Fang mal mit [mm] \ln{(k+1)}<\ln{(k)}+1 [/mm] an.
> Mir schaut es so aus, dass ich für die
> Konvergenzuntersuchung nur mit dem Quotientenkriterium oder
> dem Wurzelkriterium eine Aussage erreiche.
Nein, Leibniz (übrigens ohne t) ist hier am einfachsten. Mit den beiden andern kommst Du nicht weit. Beide liefern hier keine Aussage.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 14.10.2011 | | Autor: | E-fun |
Danke für deine Antwort!
Was ich an deiner Ausführung aber nicht verstehe ist dieser Ausdruck. [mm] \ln{(k+1)}<\ln{(k)}+1 [/mm]
Ich vermute, du willst darauf hinaus, dass ich den Bruch nur auf sehen eigenschaften über die Folgeglieder untersuche.
Habe diese Woche mein Professor danach gefragt, ob es ausreicht, Folgeglieder zu berechen und anhand dessen, für den Nachweis der Konvergenz, das "Leibniz"-Kriterium anzusetzen.
Seine Antwort war ein klares "Nein". Zu mehr Hilfen an der Stelle wollte er sich auch noch nicht äußern.
Woran erkennst Du eigentlich, dass ich weder mit dem Quotientenkriterium noch mit dem Wurzelkriterium etwas erreichen kann?
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Hallo E-fun,
> Danke für deine Antwort!
>
> Was ich an deiner Ausführung aber nicht verstehe ist
> dieser Ausdruck. [mm]\ln{(k+1)}<\ln{(k)}+1[/mm]
>
> Ich vermute, du willst darauf hinaus, dass ich den Bruch
> nur auf sehen eigenschaften über die Folgeglieder
> untersuche.
Du willst doch zeigen, dass [mm]\left(\frac{1}{k-\ln(k)}\right)_{k\in\IN}[/mm] (streng) monoton fallend ist, dass also [mm]\frac{1}{(k+1)-\ln(k+1)} \ < \ \frac{1}{k-\ln(k)}[/mm] ist
Äquivalent umgeformt:
[mm](k+1)-\ln(k+1) \ > \ k-\ln(k)[/mm], also [mm]-\ln(k+1) \ > -\ln(k)-1[/mm]
Damit [mm]\ln(k+1) \ < \ \ln(k)+1[/mm]
Das ist äquivalent zur Aussage [mm]\frac{1}{(k+1)-\ln(k+1)} \ < \ \frac{1}{k-\ln(k)}[/mm]
Zeige also letzteres!
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> Habe diese Woche mein Professor danach gefragt, ob es
> ausreicht, Folgeglieder zu berechen und anhand dessen, für
> den Nachweis der Konvergenz, das "Leibniz"-Kriterium
> anzusetzen.
> Seine Antwort war ein klares "Nein".
Recht hat er!
> Zu mehr Hilfen an der
> Stelle wollte er sich auch noch nicht äußern.
Naja, ihr sollt das ja auch selber lernen und rausfinden ...
>
> Woran erkennst Du eigentlich, dass ich weder mit dem
> Quotientenkriterium noch mit dem Wurzelkriterium etwas
> erreichen kann?
Versuch's doch mal selbst!
Ich wette, reverend hat es ausprobiert (oder mit erfahrenem Auge gesehen) und bei beiden als Grenzwert 1 erhalten, so dass die Kriterien keine Aussage liefern.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 14.10.2011 | | Autor: | E-fun |
Ich danke auch dir für deine Bemühungen.
Dass bringt mich auch an der Stelle weiter.
> Naja, ihr sollt das ja auch selber lernen und rausfinden
> ...
> Versuch's doch mal selbst!
Deine Kritik nehme ich auch zur Kenntnis. Muss allerdings sagen, dass nach meinem Verständnis der Skript aus der Vorlesung diese Vorgehensweise allerhöchstens nur impliziert.
Das "eine" Beispiel hierfür gibt auch nichts in derart her.
Mit selber probieren und herausfinden,... ja habe ich auch, sogar schon viel zu lange und auch zu viel Literatur herangezogen.
Die Dichte des B.- Studiums gibt einen allerhöchstens am Semesteranfang diese Zeit. Und dass auch nur am Freitag Nachmittag/Abend.
Samstag und Sonntag sind auch mit anderen Fächern als Mathe und Vorbereitungen für die nächste Woche reserviert.
Ich bin nicht Stolz darauf dass ich Hilfe brauche, aber ich weiß, dass ich keine Minorität darstelle.
Was bei einigen leicht ausschaut ist meistens durch Gruppenarbeit entstanden.
Ich versuche es zumindest noch selbstständig zu schaffen, aber machmal fehlt eifach die Zeit.
Deswegen bedanke ich mich ja auch für diese Möglichkeit.
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