Summen v. Zahlen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
| Aufgabe 1 | | a) Wie viele Zahlen lassen sich als die Summe von zwei oder mehr verschieden Zahlen aus der Menge [mm] \{0,1,2,4,8,16,32\} [/mm] schreiben? |
| Aufgabe 2 | | b) Man färbt die Seiten eines Würfels mit 6 verschiedenen Faben. Zwei Färbungen sind äquivalent wenn man sie durch eine Drehung ineinander überführen kann. Wie viele verschiedene Färbungen gibt es? |
Liebe Mathe-Studenten,
im Gymnasium habe ich alle Kombinatorik Aufgaben verstanden. Aber jetzt habe ein grosses Problem verstehe nicht einmal die ganze Aufgabe die gestellt wird (v.a. b))
Für a) würde ich sagen es (n = 7, da es 7 Zahlen sind)
n! +(n-1)! + (n-2)! + (n-3)! + (n-4)! + (n-5)! + (n-6)!
d.h.
7! + 6! + 5! + 4! + 3! + 2! + 1!
Muss man nicht auch noch das 0 berücksichtigen? Als Summand verändert er ja die ganze Summe nicht. Und es ist ja nach den Zahlen der Summen gefragt.
zu b)
Da verstehe ich nicht einmal die Frage. Aber so intuitiv hätte ich einfach gesagt:
[mm] \pmat{ 6 \\ 2} [/mm] = 6! / (2! * 4!) = 15
Versteht jemand mehr von diesen Aufgaben?
vielen lieben Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Fr 26.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also zu a)
hier hat man doch [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 3}+\vektor{6 \\ 4} [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 5}+\vektor{6 \\ 6} [/mm]
möglichkeiten summen zwei oder mehr elemente der menge zu bauen wenn man die null mal nicht beachtet, jetzt musst du dir halt überlegen wieviele möglichkeiten noch dazu kommen durch die null
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Danke, vivo
aber so wie ich den Text der Aufgabe verstehe, muss man die 0 gar nicht beachten, oder?
Weil zählst Du 0 zu einer Summe, bleibt die Zahl der Summe ja gleich...
oder wie hast du den Text verstanden?
Gruss Giorda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Fr 26.09.2008 | | Autor: | vivo |
dass stimmt zwar ...
aber du kannst natürlich jetzt sechs weitere summen aus zwei elementen bauen nämlich
1+0 ,..... und so weiter
und dann müsstest du natürlich eigentlich noch schauen ob, eine bestimmte zahl nicht zweimal dabei ist, bei den summen ...?
schreib mal bitte wie du auf das ergebnis bei der b kommst
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Fr 26.09.2008 | | Autor: | leduart |
edit, natuerlich nur bis 63, ich hatte bis 128 gerechnet!
hallo
die 0 brauchst du, weil du sonst 2,4,8 usw nicht kriegst.
das ist eigentlich keine aufgabe der Kombinatorik, wenn du dran denkst dass du mit den Zahlen alle Zahlen bis ! es sind doch die binaer Zahlen 64=01000000, 255=11111111.
Gruss leduart
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> hallo
> die 0 brauchst du, weil du sonst 2,4,8 usw nicht kriegst.
(ja; warum sind eigentlich "Summen" mit nur
einem Summanden ausgeschlossen ?)
> das ist eigentlich keine aufgabe der Kombinatorik, wenn du
> dran denkst dass du mit den Zahlen alle Zahlen bis ! es
> sind doch die binaer Zahlen 64=01000000, 255=11111111.
?????
Kombinatorik ist es jedenfalls !
> Gruss leduart
Hallo an alle,
mir scheint eine Präzisierung der Aufgabenstellung wünschens-
wert: Jede Zahl aus der gegebenen Menge darf höchstens
einmal in einer bestimmten Summe verwendet werden.
Andernfalls wäre die Antwort, dass es unendlich viele mögliche
Summen gibt.
Die darstellbaren Summen sind dann tatsächlich alle verschieden,
es handelt sich genau um die ganzen Zahlen von 1 bis und mit
63. Die Aufgabe ist natürlich sehr eng mit dem Binärsystem
verknüpft.
Jetzt ist noch die Frage, ob ein umfassender Beweis gefragt ist.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Al-Chw.
ich hätte auch gerne eine präzisere Aufgabenstellung, aber so wie ich die Aufgabe aufgeschrieben habe, steht sie auf meinem Übungsblatt :-(
also ich habe es so verstanden:
Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich als die Summe von zwei oder mehr verschieden Zahlen aus der Menge (0,1,2,4,8,16,32) schreiben
und zwar das man nie doppelte Summanden hat. also nicht 1+1+2.
Einen Beweis ist nicht nötig, nur das korrekte Resultat.
dann wäre ja der WEG:
[mm] \vektor{7 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 4} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 5} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 6} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 7}
[/mm]
oder was meinst du?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 So 28.09.2008 | | Autor: | vivo |
hallo,
> dann wäre ja der WEG:
>
> [mm]\vektor{7 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 1}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm] +
> [mm]\vektor{7 \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 4}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 5}[/mm] +
> [mm]\vektor{7 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 7}[/mm]
>
> oder was meinst du?
>
aber wieso denn [mm]\vektor{7 \\ 0}[/mm] ???
du musst doch mindestens zwei elemente aus der menge wählen !
also du kannst doch erst einmal alle die betrachten die du mit der null und einem anderen element bauen kannst, dies sind sechs stück, sobald du die null und zwei andere elemente nimmst, erhälst du das selebe ergebnis wenn du die null nicht dazu nimmst, deshalb:
6 + [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 4}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 5}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 6}[/mm]
das gibt jetzt 63 verschiedene summen, was natürlich eigentlich in irgendeiner form verdeutlicht werden muss (also ich meine damit, du musst irgendwie prüfen ob kein ergebnis doppelt dabei ist)
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo Vivo,
also ich bin jetzt nochmal auf was anderes gekommen:
wir haben 7 Elemente in der Menge:
[mm] \vektor{7 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 4} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 5} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 6} [/mm] + [mm] \vektor{7 \\ 7} [/mm] = 120
D.h. am Anfang hat man 7 Elemente und man kann mit 2 Elementen Summen bilden, dann hat man von 7 Elementen 3 Elemente zum Summen bilden und so weiter....
Nur zum überprüfen, dass keine Summe denselben Wert hat, habe ich bis jetzt keine Idee....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 So 28.09.2008 | | Autor: | vivo |
nein dass stimmt so nicht! du benutzt die null dann jedesmal mit aber alle summen welche die null enthalten und mehr als ein anderes element sind gleich ! deshalb gibt es nur sechs stück die du mit der null bauen zu brauchst!
und die lösung ist dann wie vorhin bereits geschrieben
6 + [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 4}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 5}[/mm] + [mm]\vektor{6 \\ 6}[/mm]
und dass sind 63 und es sind keine doppelt, aber dass musst du dir laut aufgabenstellung natürlich irgendwie überlegen ...
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> Hallo Vivo,
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> also ich bin jetzt nochmal auf was anderes gekommen:
>
> wir haben 7 Elemente in der Menge:
>
>
> [mm]\vektor{7 \\ 2}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 4}[/mm] +
> [mm]\vektor{7 \\ 5}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 6}[/mm] + [mm]\vektor{7 \\ 7}[/mm] = 120
>
> D.h. am Anfang hat man 7 Elemente und man kann mit 2
> Elementen Summen bilden, dann hat man von 7 Elementen 3
> Elemente zum Summen bilden und so weiter....
Du musst die Summen, die eine Null enthalten,
speziell behandeln, wie dir vivo gerade erklärt hat !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Vielen Dank Euch zwei...manchmal bin ich einfach schwer von Begriff :-(
Gruss
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| Aufgabe | Man färbt die Seiten eines Würfels mit 6 verschiedenen
Farben. Zwei Färbungen sind äquivalent wenn man sie durch
eine Drehung ineinander überführen kann. Wie viele
verschiedene Färbungen gibt es? |
Auch hier schadet eine Präzisierung nicht: Bei jeder Färbung
werden alle 6 Farben eingesetzt, je eine für eine der Würfel-
seiten.
Hier geht man am besten so vor, dass man die Würfel
in gewisse Standardpositionen dreht.
Die Farben seien z.B.
a vocado
b lau
c itron
d unkelrot
e i
f laschengrün
Der vor uns auf dem Tisch liegende Würfel
hat 6 Seitenflächen:
u nten (auf dieser Fläche steht, liegt bzw. sitzt der Würfel)
o ben
v orne
r echts
h inten
l inks
Wir können vereinbaren, dass die Farbe a stets unten sein soll.
oben kann dann irgendeine der anderen 5 Farben sein. Einerlei
welche der 5 Farben oben ist: Man kann dann jeweils eine
beliebige (z.B. die mit dem alphabetisch ersten noch nicht
benützten Anfangsbuchstaben) der verbliebenen Farben nach
vorne drehen. Die übrigen 3 Farben lassen sich auf 3!=6 Arten
auf den Positionen rechts, hinten und links permutieren.
Insgesamt haben wir dann 5*3!=30 "drehungsresistente"
Färbungen.
Gruß al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Hallo al-Chw.
zu der b) Färbung mit dem Würfel:
Also ich versteh deine Lösung, nur ist das genau das was in der Aufgabenstellung gefragt wird: "Zwei Färbungen sind äquivalent wenn man sie durch eine Drehung ineinander überfürhrt kann"
Also versteh mich nicht falsch, denn ich selber kann mit diesem Satz von der Aufgabenstellung selber nichts anfangen.... :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 28.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo al-Chw.
>
> zu der b) Färbung mit dem Würfel:
>
> Also ich versteh deine Lösung, nur ist das genau das was in
> der Aufgabenstellung gefragt wird: "Zwei Färbungen sind
> äquivalent wenn man sie durch eine Drehung ineinander
> überfürhrt kann"
>
> Also versteh mich nicht falsch, denn ich selber kann mit
> diesem Satz von der Aufgabenstellung selber nichts
> anfangen.... :-(
Hallo,
die Diskussion schweift irgendwie ab, da du den wichtigsten Hinweis der letzten Posts ignoriert hast.
Kennst du das Verfahren, Zahllen nicht im Zehner-, sondern im Zweiersystem darzustellen???
Wenn ja, dann hast du die Lösung.
Wenn nein, dann könnten dir folgende 3 Fragen auf die Sprünge helfen:
1) Was ist die kleinste Zahl, die sich unter Verwendung von mindestens zwei Summanden 0, 1, 2, 4, 8,... darstellen lässt)
2) Was ist die größte Zahl, die sich unter Verwendung der gegebenen Summanden herstellen lässt?
3) Sind sämtliche Zahlen dazwischen darstellbar?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 28.09.2008 | | Autor: | Giorda_N |
Ich denke nicht das die Diskussion abschweift, denn ich bin bei der 2. Aufgabe, also b) und nicht mehr bei a) 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 So 28.09.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
zu b)
wenn du nen Wuerfel aus 6 verschiedenen seiten zusmmenklebst hast du erst mal 6! verschiedene Moeglichkeiten.
Wenn du diese fertigen 6! Wuerfel vor dier hast, und immer die Farbe a nach unten drehst, kannst du einige der Wuerfel so drehen, dass sie alle gleich vor dir stehen. Dann sind sie äquivalent.
Dann kann man sich auch gleich vorstellen, dass ich die Unterseite mit a anmale und dann ueberlegen wieviel verschiedene Moeglichkeiten es dann gibt.
Andere Moeglichkeit: Du zaehlst ab, wieviele Drehungen des Wuefels es gibt, die ihn in sich ueberfueren , das sind 24 und dividierst 6! durch die 24.
Gruss leduart
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