Summen von Vektorräumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 Di 21.11.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Seien V und W Teilräume des [mm] R^4, [/mm] wobei V durch (2,-1,3) und (0,1,1)und W durch (1,-1,1) und (0,1,0) erzeugt werden.
a) Bestimme V+W.
b) Bilden V+W eine direkte Summe? |
Grüß euch. Also ich hab einige Fragen zu dieser Aufgabe:
Meine Vektoren haben nur 3 Koordinaten, wie ist das im [mm] R^4 [/mm] möglich (ist das vielleicht ein Tippfehler? Sollte es nicht [mm] R^3 [/mm] heißen?). Bei a) und b) steh ich aber auch ziemlich an. SOS! Lg
|
|
| |
|
> Seien V und W Teilräume des [mm]R^4,[/mm] wobei V durch (2,-1,3) und
> (0,1,1)und W durch (1,-1,1) und (0,1,0) erzeugt werden.
> a) Bestimme V+W.
> b) Bilden V+W eine direkte Summe?
> Grüß euch. Also ich hab einige Fragen zu dieser Aufgabe:
> Meine Vektoren haben nur 3 Koordinaten, wie ist das im [mm]R^4[/mm]
> möglich (ist das vielleicht ein Tippfehler? Sollte es nicht
> [mm]R^3[/mm] heißen?)
Hallo,
ich nehme sehr stark an, daß es [mm] \IR^3 [/mm] heißen sollte.
Um a) und b) zu lösen, mußt Du natürlich wissen, wie die Summe zweier (Unter-)Vektorräume definiert ist.
V+W:={v+w I [mm] v\in [/mm] V und w [mm] \in [/mm] W}
Nun, welche Gestalt haben die Elemente von V? Und die von W?
Wie sehen dann die von V+W aus?
zu b) V+W ist die direkte Summe von V und W sagt man, wenn der Schnitt nur die Null enthält.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Di 21.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Danke erstmals, aber das war mir schon klar. Ist also für a) die Lösung: [mm] \{\lambda(2,-1,3) + \mu(0,1,1) + \nu(1,-1,1) + \gamma(0,1,0)\}. [/mm] Ich zweifle nämlich etwas daran, dass das so leicht ist...
b) hab ich auch gemacht. Mein Vorschlag: Da diese beiden Teilräume ja eine Ebene darstellen, hab ich mir die Normalvektordarstellung der beiden Ebenen ausgerechnet (also Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, etc.). Da hab ich herausbekommen:
Ebene 1: -4x-2y+2z=0,
Ebene 2: -x + z=0 ==> x=z, in die obere Gleichung eingesetzt ergibt das -2x-2y=0. Also schneiden sich die Ebenen in dieser Geraden (y=-x), also ist V+W keine direkte Summe. Ist diese Lösung richtig und vor allem vollständig? Bitte nochmals um Hilfe. Danke. Lg
|
|
|
| |
|
> Danke erstmals, aber das war mir schon klar. Ist also für
> a) die Lösung: V+W= [mm]\{\lambda(2,-1,3) + \mu(0,1,1) + \nu(1,-1,1) + \gamma(0,1,0)\ | \lambda,\mu , \nu, \gamma \in \IR\}.[/mm] Ich zweifle nämlich etwas daran, dass das so leicht ist...
Das ist jedenfalls eine richtige Lösung.
Allerdings ist Dein Unbehagen berechtigt: der Lösungsraum wird von 4 Vektoren erzeugt, und da wir uns im [mm] \IR^3 [/mm] befinden, müssen linear unabhängige Vektoren dabei sein.
In der Tat ist [mm] (1,-1,1)=\bruch{1}{2}(2,-1,3)-\bruch{1}{2}(0,1,1) [/mm]
Somit ist [mm] V+W=\{\lambda(2,-1,3) + \mu(0,1,1) + \nu(\bruch{1}{2}(2,-1,3)-\bruch{1}{2}(0,1,1)) + \gamma(0,1,0)\ | \lambda,\mu , \nu, \gamma \in \IR\}
[/mm]
[mm] =\{(\lambda+\bruch{1}{2}\nu)(2,-1,3) + (\mu-\bruch{1}{2}\nu)(0,1,1) + \gamma(0,1,0)\ | \lambda,\mu , \nu, \gamma \in \IR\}
[/mm]
[mm] =\{r(2,-1,3)+s(0,1,1) +t(0,1,0) I r,s,t \in \IR\}
[/mm]
So. Wenn man nun hierauf schaut, sieht man, daß die drei Vektoren linear unabhängig sind, also ist die zu betrachtende Menge= ???
Aber wie gesagt, falsch war die "erste" Menge nicht, nur etwas verschleiernd...
Bzgl. b) hast du recht.
-Du hast den Schnitt der Ebenen ausgerechnet.
-Ich habe gesehen, daß man der eine erzeugende Vektor der zweiten Menge bereits in der ersten enthalten ist.
-Aber man braucht auch gar nichts zu rechnen: V und W sind beides Ebenen durch den Nullpunkt. Der Schnitt kann gar nicht nur die Null enthalten!
Gruß v. Angela
>
> b) hab ich auch gemacht. Mein Vorschlag: Da diese beiden
> Teilräume ja eine Ebene darstellen, hab ich mir die
> Normalvektordarstellung der beiden Ebenen ausgerechnet
> (also Kreuzprodukt der Richtungsvektoren, etc.). Da hab ich
> herausbekommen:
> Ebene 1: -4x-2y+2z=0,
> Ebene 2: -x + z=0 ==> x=z, in die obere Gleichung
> eingesetzt ergibt das -2x-2y=0. Also schneiden sich die
> Ebenen in dieser Geraden (y=-x), also ist V+W keine direkte
> Summe. Ist diese Lösung richtig und vor allem vollständig?
> Bitte nochmals um Hilfe. Danke. Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 21.11.2006 | | Autor: | Manabago |
ad a) Also ist diese neue Menge von Vektoren eine Basis für den [mm] R^3, [/mm] da sie ein Erzeugendensystem und lin.unabh. sind. Wolltest du darauf hinaus???
ad b) Herzlichen Dank. Hoffe, hast noch mal schnell zeit für a) :)!
|
|
|
| |
|
> ad a) Also ist diese neue Menge von Vektoren eine Basis für
> den [mm][mm] R^3,
[/mm]
Ja. Und daher ist [mm] V+W=\IR^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
