Summenbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5 [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] |
Hey, ich könnte kurz Hilfe bei einem Beweis brauchen ...
es ist ein Summenbeweis.
Aufgabe lautet:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5 [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
Gehen Sie folgendermaßen vor:
1. IA: Zeigen sie, dass die Summe in (1) für n=1 funktioniert
2. IV: Schreiben sie die Induktionsvoraussetzung hin.
3. IS: Zeigen Sie nun, dass die Summe in (1) für n+1 funktioniert
da komme ich bei der IS nicht weiter ... hab dort
(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5(n+1))/5 ...
dachte ich sollte das vllt ausmultiplizieren und zusammenfassen ... da würde ich dann zum schluss auf [mm] n^5+1ßn^4+24n^3+17n^2+2n [/mm] kommen ...
außer ich habe dort mal wieder einen fehlern ...
aber jetzt komm ich da nicht weiter ...
oder hätte ich vllt das ausmultiplizieren lassen sollen?!
|
|
| |
|
Hallo Nicky-01,
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5[/mm]
> für [mm]n\in\IN[/mm]
> Hey, ich könnte kurz Hilfe bei einem Beweis brauchen ...
> es ist ein Summenbeweis.
> Aufgabe lautet:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3)=(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5[/mm]
> für [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Gehen Sie folgendermaßen vor:
> 1. IA: Zeigen sie, dass die Summe in (1) für n=1
> funktioniert
> 2. IV: Schreiben sie die Induktionsvoraussetzung hin.
> 3. IS: Zeigen Sie nun, dass die Summe in (1) für n+1
> funktioniert
>
>
> da komme ich bei der IS nicht weiter ... hab dort
> (n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5(n+1))/5 ...
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
> dachte ich sollte das vllt ausmultiplizieren und
> zusammenfassen ... da würde ich dann zum schluss auf
> [mm]n^5+1ßn^4+24n^3+17n^2+2n[/mm] kommen ...
Nein, ausmultiplizieren musst Du das nicht.
> außer ich habe dort mal wieder einen fehlern ...
> aber jetzt komm ich da nicht weiter ...
> oder hätte ich vllt das ausmultiplizieren lassen sollen?!
Ja, das Ausmultiplizieren hättest Du lassen sollen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
also zur IS:
Ziel: Gilt auch für n+1 ...
[mm] \summe_{k=n}^{n+1} [/mm] k(k+1)(k+2)(k+3)=
((n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3)((n+1)+4))/5
[mm] \summe_{k=n}^{n+1} k(k+1)(k+2)(k+3)=(\summe_{k=n}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3))+(n+1)= [/mm] (jetzt wird die IV eingesetzt)
=(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5 + (n+1) =
= (n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5(n+1)) / 5 =
= (n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5n+5) / 5
so und jetzt könnte man die klammern entweder ausmultiplizieren oder umschreiben ...
wenn ich es umschreibe würde ich es so amchen ...
(n(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2((n+1)+3)+5n+5) /5 ...
aber da weiß ich dann nicht mehr weiter ...
genau wie vorher als ich das ausmultipliziert hatte ...
|
|
|
| |
|
Hallo Nicky-01,
> also zur IS:
> Ziel: Gilt auch für n+1 ...
>
> [mm]\summe_{k=n}^{n+1}[/mm] k(k+1)(k+2)(k+3)=
> ((n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3)((n+1)+4))/5
>
>
> [mm]\summe_{k=n}^{n+1} k(k+1)(k+2)(k+3)=(\summe_{k=n}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3))+(n+1)=[/mm]
Hier meinst Du wohl:
[mm]\summe_{k=\blue{1}}^{n+1} k(k+1)(k+2)(k+3)=(\summe_{k=\blue{1}}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3))+(n+1)\red{\left(n+2\right) \left(n+3\right)\left(n+4\right)}[/mm]
Und damit sollte es klappen.
> (jetzt wird die IV eingesetzt)
> =(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5 + (n+1) =
> = (n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5(n+1)) / 5 =
> = (n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5n+5) / 5
>
> so und jetzt könnte man die klammern entweder
> ausmultiplizieren oder umschreiben ...
> wenn ich es umschreibe würde ich es so amchen ...
>
> (n(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2((n+1)+3)+5n+5) /5 ...
> aber da weiß ich dann nicht mehr weiter ...
> genau wie vorher als ich das ausmultipliziert hatte ...
Und stelle Fragen auch als Fragen, nicht als Mitteilungen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
wieso muss denn da am ende nicht nur die (n+1) hin sondern auch (n+2)(n+3)(n+4) ?
|
|
|
| |
|
> wieso muss denn da am ende nicht nur die (n+1) hin sondern
> auch (n+2)(n+3)(n+4) ?
Hallo!
Das ist ja gerade der Sinn der vollständigen induktion.
Vielleicht verstehst du es an einem einfacheren Beispiel:
Zeige [mm] \summe_{v=1}^{n}v=\bruch{n*(n+1))}{2} [/mm] per vollständiger Induktion.
Du sollst also zeigen das die Gleichheit gilt.
Nun im Induktionsanfang "beweist" du es für eine Zahl. Die "1".
Danach gilt also die Gleichheit.
nun im Induktionsschritt [mm] A(n)\mapsto [/mm] A(n+1)
[mm] \summe_{v=1}^{n+1}v=\bruch{(n+1)*(n+2))}{2}
[/mm]
Der Linke Summenterm soll also gleich der rechten Darstellung sein.
[mm] \summe_{v=1}^{n+1}v [/mm] Hiermit kannst du noch nicht viel anfangen.
Schreibst du es aber um in:
[mm] (\summe_{v=1}^{n}v)+(n+1) [/mm] kannst du etwas damit anfangen, weil du [mm] \summe_{v=1}^{n}v [/mm] ersetzen kannst.
Du "ziehst" also dein (n+1)-tes Element aus der Summe heraus.
Dabei muss ich in diesem Fall jedes "v"(ist hier ja nur eines) durch (n+1) ersetzen.
In deinem Fall natürlich für jedes k ein (n+1) einsetzen.
Hoffe das hilft dir weiter.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
also rechne ich damit weiter ja?
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k(k+1)(k+2)(k+3)=(\summe_{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)(k+3))+(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
[/mm]
also habe ich dann:
=(n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4))/5 + (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) =
=[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5((n+1)(n+2)(n+3)(n+4)) / 5
und rechne damit weiter?
muss ich das dann alles ausmultiplizieren?
|
|
|
| |
|
Nein, nicht ausmultiplizieren.
Probiers mal mit ausklammern.
Und schreibe dir mal irgendwo hin auf welchen Ausdruck du überhaupt hinaus willst.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
ok, da komm ich irgendwie gar nicht mit weiter ...
dachte vllt an
[n(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3)+5((n+1)((n+1)+1)((n+1)((n+1)+2)((n+1)+3))] / 5
aber ich bezweifle das das richtig ist ...
|
|
|
| |
|
> ok, da komm ich irgendwie gar nicht mit weiter ...
>
> dachte vllt an
> [n(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3)+5((n+1)((n+1)+1)((n+1)((n+1)+2)((n+1)+3))]
> / 5
>
> aber ich bezweifle das das richtig ist ...
So meinte ich das nicht mit dem Ausklammern. ;)
Schreib dir doch bitte erstmal auf ein Blatt Papier auf welchen Term du denn hinauswillst.
Dann wirst du schnell feststellen, was auszuklammern ist.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
das habe ich ja gemacht ...
will von dem [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5((n+1)(n+2)(n+3)(n+4))] / 5
auf das
(n+1)((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3)((n+1)+4)) / 5
bzw auf n+1((n+2)(n+3)(n+4)(n+5)) / 5
aber irgendwie glaub ich, dass ich tomaten auf den augen habe ... keine ahnung was mit mir los ist ... sonst scheitere ich nie bei solchen aufgaben -.-"
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Sa 12.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5((n+1)(n+2)(n+3)(n+4))}{5} [/mm]
[mm] =\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+5(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5} [/mm]
[mm] =\frac{n[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]+5[(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]}{5} [/mm]
Klammere nun die Eckige Klammer aus.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
jetzt bin ich noch verwirrter als vorher ...
ich soll das in der eckigen klammer ausklammern?
was soll ich den da ausklammern?
abgesehen davon das in beiden eckigen klammern das gleiche steht,
was ich jetzt auch nicht mehr ...
|
|
|
| |
|
> jetzt bin ich noch verwirrter als vorher ...
M.Rex hats dir wirklich sehr schön hingeschrieben.
> ich soll das in der eckigen klammer ausklammern?
Genau.
> was soll ich den da ausklammern?
(n+1)(n+2)*(n+3)*(n+4)
> abgesehen davon das in beiden eckigen klammern das gleiche
> steht,
Deswegen kannst du das alles ausklammern.
> was ich jetzt auch nicht mehr ...
Bezeichnen wir mal x=(n+1)(n+2)*(n+3)*(n+4)
Dann hast du im Zähler etwas in der form:
a*x+b*x stehen.
wenn du hier x ausklammerst, steht da:
x*(a+b)
Wende das nun auf deine Aufgabe an.
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
ok, jetzt hab ich gesehen was gemeint ist xD
glaub ich sollte mal meine Brille aufsetzen und ein paar Kaffee trinken und wieder wach werden ...
danke für dir Hilfe!!!
jetzt hänge ich nur noch an der anderen aufgabe fest ...
bei der ich die ganze Zeit auf 2n>4 komme ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:47 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Valerie20 |
was in deinem Fall (laut dem Tipp der in der Aufgabenstellung steht) ja eine wahre Aussage ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
also wenn ich jetzt [mm] n^2+2n+^>5n+5 [/mm] habe und für n2 5n einsetze komme ich ja auf
5n+2n+1>5n+5 |-5n |-1
2n>4 ...
und ist das jetzt das ergebnis?
oder setze ich das nochmal in die formel ein ?
also
in [mm] n^2+2n+1>5n+5 [/mm] (2n>4)
[mm] n^2+4+1>5n+5
[/mm]
[mm] n^2+5>5n+5 [/mm] |-5
[mm] n^2>5n [/mm] ...
dann würde ich aber wieder auf die IV kommen ...
was doch auch nicht richtig ist oder?
|
|
|
| |
|
Wichtig ist, dass am Ende eine Wahre Aussage steht!
In deinem Fall bist du anfangs von [mm] n\ge6 [/mm] ausgegangen.
Das wird in deinem Induktionsschluss erfüllt, da 2n>4.
> also wenn ich jetzt [mm]n^2+2n+^>5n+5[/mm] habe und für n2 5n
> einsetze komme ich ja auf
> 5n+2n+1>5n+5 |-5n |-1
> 2n>4 ...
> und ist das jetzt das ergebnis?
Ja, wahre Aussage.
> oder setze ich das nochmal in die formel ein ?
Nein!
> also
> in [mm]n^2+2n+1>5n+5[/mm] (2n>4)
> [mm]n^2+4+1>5n+5[/mm]
> [mm]n^2+5>5n+5[/mm] |-5
> [mm]n^2>5n[/mm] ...
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Nicky-01 |
demnach ist mein endergebnis 2n>4 ...
Damit wäre dann gezeigt, dass die Ungleichung (gemäß dem Tipp) für n+1 wahr ist ...
oder?
|
|
|
| |
|
Ja.
Das nächste mal handle die Fragen bitte in dem Thread ab, in dem du sie gestellt hast.
gruß
|
|
|
|
