Summenformel für quadr. Zahlen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:47 Sa 25.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo , wir schreiben am Dienstag eine Mathe-LK-Klausur ( LEISTUNGSKURS ) und haben nur als Thema die Integralrechnung ( nur das unbestimmte Integral ).
Dazu kommt leider noch diese aufwendige Streifenmethode.
Dazu habe ich mal eine Frage :
Und zwar diese Untersumme :
Ich kürze es mal ein bisschen ab :
Als Breite haben wir [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[...]
=> Un = [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] [ [mm] 0^2 [/mm] + [mm] 1^2 +2^2 [/mm] +... + [mm] (n-1)^2]
[/mm]
Un = [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] (n-1) * n (2n-1)
Diese Zeile verstehe ich nicht , um auf die zweite Zeile zu kommen , hat man die Smmenformel :
[mm] 1^2 +2^2 +3^2 [/mm] + [mm] ...+m^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] m (m+1) (2m+1)
Hier gilt doch m = n-1
Warum steht da zum Beispiel (n-1) * n , nach der Summenformel müsste es doch ( (n-1) +1 ) bzw. ( (2(n-2)) +1) Wie kommt man auf [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] (n-1) * n (2n-1)
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Sa 25.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
EDIT:
Habs raus -.-
Peinlich , so eine Frage zu stellen , hab grad für m einfach n-1 eingesetzt und komme auf die gleiche Zeile.
Frage kann als beantwortet markiert werden.
Trotzdem danke.
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Hab kurz noch eine Frage.
Das war ein Beispiel mit f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
Wenn ich jetzt zum Beispiel f(x) = [mm] x^{3} [/mm] habe,
Dann ist eigentlich wieder alles gleich für die Untersumme :
Un = [mm] \bruch{1}{n^{4}} [/mm] [ $ [mm] 0^3 [/mm] $ + $ [mm] 1^3 +2^3 [/mm] $ +... + $ [mm] (n-1)^3] [/mm] $
Und die Summenformel für kubische Zahlen (laut Tafelwerk-PAETEC) :
[mm] (\bruch{n(n+1)}{2})^{2}
[/mm]
Ich kann doch statt n hier auch m schreiben , oder ?
Also :
[mm] (\bruch{m(m+1)}{2})^{2}
[/mm]
= > m = (n-1)
=> [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] (\bruch{(n-1)((n-1)+1)}{2})^{2}
[/mm]
Ist das richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Hab kurz noch eine Frage.
>
> Das war ein Beispiel mit f(x) = [mm]x^{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt zum Beispiel f(x) = [mm]x^{3}[/mm] habe,
>
> Dann ist eigentlich wieder alles gleich für die Untersumme
> :
>
> Un = [mm]\bruch{1}{n^{4}}[/mm] [ [mm]0^3[/mm] + [mm]1^3 +2^3[/mm] +... + [mm](n-1)^3][/mm]
>
> Und die Summenformel für kubische Zahlen (laut
> Tafelwerk-PAETEC) :
>
>
> [mm](\bruch{n(n+1)}{2})^{2}[/mm]
>
> Ich kann doch statt n hier auch m schreiben , oder ?
Ja.
> Also :
>
>
> [mm](\bruch{m(m+1)}{2})^{2}[/mm]
>
> = > m = (n-1)
> => [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm](\bruch{(n-1)((n-1)+1)}{2})^{2}[/mm]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{1}{n^{\blue{4}}} * (\bruch{(n-1)((n-1)+1)}{2})^{2}[/mm]
> Ist das richtig ?
Gruss
MathePower
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Stimmt , danke für die Kontrolle.
Also wenn ich das hier jetzt habe :
$ [mm] \bruch{1}{n^{\blue{4}}} \cdot{} (\bruch{(n-1)((n-1)+1)}{2})^{2} [/mm] $
Kann ich da was erst im Zähler machen und dann n gegen Unendlich laufen lassen bzw. konvergieren lassen , oder ?
Und dann kommt da ein reeler Wert raus und dann mache ich das gleiche für die Obersumme , da bekomme ich auch einen Wert raus , soll ich dann das arithmetische Mittel benutzen um dann A rauszukriegen im Intervall [0 ; 1] ?
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Hallo pc_doctor,
> Stimmt , danke für die Kontrolle.
>
> Also wenn ich das hier jetzt habe :
>
> [mm]\bruch{1}{n^{\blue{4}}} \cdot{} (\bruch{(n-1)((n-1)+1)}{2})^{2}[/mm]
>
> Kann ich da was erst im Zähler machen und dann n gegen
> Unendlich laufen lassen bzw. konvergieren lassen , oder ?
>
Klammere im Zähler die höchste Potenz von n aus.
> Und dann kommt da ein reeler Wert raus und dann mache ich
> das gleiche für die Obersumme , da bekomme ich auch einen
> Wert raus , soll ich dann das arithmetische Mittel benutzen
> um dann A rauszukriegen im Intervall [0 ; 1] ?
Die Werte für Ober- und Untersumme sind für [mm]n \to \infty[/mm] gleich.
Gruss
MathePower
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Also hab mal jetzt ein konkretes Beispiel:
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] Intervall I = [0 ; 1]
Untersumme :
[...]
[mm] \bruch{1}{n^{4}} [0^3 +1^3 2^3 +...+(n-1)^3]
[/mm]
Summenformel :
[mm] \bruch{m^2(m+1)^2}{4} [/mm]
m = (n-1)
[mm] \bruch{1}{4n^{4}} (n-1)^2 [/mm] ( (2n-1) +1 [mm] )^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4n^{4}} (n^2 [/mm] -2n +1 ) * [mm] (2n)^2 [/mm]
= [mm] \bruch{1}{4n^{4}} 4n^{4} [/mm] - [mm] 8n^{3} [/mm] + [mm] 4n^{2}
[/mm]
= - [mm] \bruch{2}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
= 0
=> Untersumme = 0.
Ist das richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Also hab mal jetzt ein konkretes Beispiel:
>
> f(x) = [mm]x^{3}[/mm] Intervall I = [0 ; 1]
>
> Untersumme :
>
> [...]
>
> [mm]\bruch{1}{n^{4}} [0^3 +1^3 2^3 +...+(n-1)^3][/mm]
>
> Summenformel :
> [mm]\bruch{m^2(m+1)^2}{4}[/mm]
> m = (n-1)
>
> [mm]\bruch{1}{4n^{4}} (n-1)^2[/mm] ( (2n-1) +1 [mm])^2[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{1}{4n^{4}} (n-1)^2[/mm] ( [mm] (\blue{n-1}) [/mm] +1 [mm])^2[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4n^{4}} (n^2[/mm] -2n +1 ) * [mm](2n)^2[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4n^{4}} 4n^{4}[/mm] - [mm]8n^{3}[/mm] + [mm]4n^{2}[/mm]
>
> = - [mm]\bruch{2}{n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
>
> = 0
> => Untersumme = 0.
>
> Ist das richtig ?
Leider nein.
Gruss
MathePower
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>
> Hier muss doch stehen:
>
> [mm]\bruch{1}{4n^{4}} (n-1)^2[/mm] ( [mm](\blue{n-1})[/mm] +1 [mm])^2[/mm]
Oh man , natürlich , Flüchtigkeitsfehler tut mir Leid.
Verbesserung :
[mm] \bruch{1}{4n^4} (n^2 [/mm] - 2n +1 ) [mm] n^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4n^2}
[/mm]
Nach [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bleibt nur noch [mm] \bruch{1}{4}.
[/mm]
Diesmal richtig :D ?
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Hallo pc_doctor,
> >
> > Hier muss doch stehen:
> >
> > [mm]\bruch{1}{4n^{4}} (n-1)^2[/mm] ( [mm](\blue{n-1})[/mm] +1 [mm])^2[/mm]
>
>
> Oh man , natürlich , Flüchtigkeitsfehler tut mir Leid.
>
> Verbesserung :
>
> [mm]\bruch{1}{4n^4} (n^2[/mm] - 2n +1 ) [mm]n^2[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4n^2}[/mm]
>
> Nach [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bleibt nur noch
> [mm]\bruch{1}{4}.[/mm]
>
> Diesmal richtig :D ?
>
Ja, sogar sehr richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für deine Korrektur.
Jetzt die Obersumme für f(x) = [mm] x^3 [/mm] Intervall I = [0 ; 1]
Obersumme :
On = [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] [ [mm] 1^3 [/mm] + [mm] 2^3 [/mm] + [mm] (n-1)^3 [/mm] + [mm] n^3 [/mm] ]
Summenformel :
[mm] \bruch{1}{4} m^2 (m+1)^2
[/mm]
m = n-1
[mm] \bruch{1}{4n^3} [/mm] * [mm] (n-1)^2 [/mm] ( (n-1) +1 [mm] )^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4n^3} [/mm] * [mm] (n^2 [/mm] -2n +1 ) ( n [mm] )^2
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4n^3} (n^{4} -2n^3 +n^2 [/mm] )
= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Richtig , oder ?
Den Rest kann ich mir ja sparen , denn n konvergiert gegen Unendlich , also bleibt wieder nur [mm] \bruch{1}{4} [/mm] übrig.
Was ich mit dem unbestimmten Integral auch errechnet habe.
Ist das jetzt so , dass wenn man bei der Untersumme einen Wert hat , nachdem n gegen Unendlich konvergiert ist , dass die Obersumme auch automatisch den gleichen Wert wie die Untersumme annimmt ?
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Hallo pc_doctor,
> Vielen Dank für deine Korrektur.
>
> Jetzt die Obersumme für f(x) = [mm]x^3[/mm] Intervall I = [0 ; 1]
>
> Obersumme :
>
> On = [mm]\bruch{1}{n^4}[/mm] [ [mm]1^3[/mm] + [mm]2^3[/mm] + [mm](n-1)^3[/mm] + [mm]n^3[/mm] ]
>
> Summenformel :
>
> [mm]\bruch{1}{4} m^2 (m+1)^2[/mm]
>
>
> m = n-1
>
> [mm]\bruch{1}{4n^3}[/mm] * [mm](n-1)^2[/mm] ( (n-1) +1 [mm])^2[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4n^3}[/mm] * [mm](n^2[/mm] -2n +1 ) ( n [mm])^2[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4n^3} (n^{4} -2n^3 +n^2[/mm] )
>
> = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Richtig , oder ?
>
Ja.
> Den Rest kann ich mir ja sparen , denn n konvergiert gegen
> Unendlich , also bleibt wieder nur [mm]\bruch{1}{4}[/mm] übrig.
>
> Was ich mit dem unbestimmten Integral auch errechnet habe.
>
> Ist das jetzt so , dass wenn man bei der Untersumme einen
> Wert hat , nachdem n gegen Unendlich konvergiert ist , dass
> die Obersumme auch automatisch den gleichen Wert wie die
> Untersumme annimmt ?
Das ist so.
Gruss
MathePower
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Warum rechnet man die Untersumme/Obersumme dann aus ?
Eins reicht doch.
Mir fällt aber grad ein , dass das nur gilt wenn man mit dem Limes arbeitet , richtig?
Wenn man nicht mit dem Grenzwert und der Konvergenz arbeitet , ist meine Aussage dann automatisch falsch , oder ?
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Hallo pc_doctor,
> Warum rechnet man die Untersumme/Obersumme dann aus ?
>
> Eins reicht doch.
>
Die Berechnung der Unter- bzw. Obersumme dient als
Einführung in die Integralrechnung.
> Mir fällt aber grad ein , dass das nur gilt wenn man mit
> dem Limes arbeitet , richtig?
>
Ja
> Wenn man nicht mit dem Grenzwert und der Konvergenz
> arbeitet , ist meine Aussage dann automatisch falsch , oder
> ?
>
Auch das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Sa 25.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Okay , alles klar vielen vielen Dank für deine Korrekturen und Antworten.
Schönes Wochenende noch.
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