Summenfunktion -> Minimum < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mi 31.05.2006 | | Autor: | siGGi666 |
| Aufgabe | gegeben: Datenfolge [mm] x_{1}, x_{2}, [/mm] ..., [mm] x_{n}
[/mm]
betrachtet Funktion f(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n}( x_{i}-x)² [/mm] in Abhängigkeit von x.
Zeigen sie, dass f(x) an Stelle x = [mm] \overline{x} [/mm] (arithmetisches Mittel) minimal wird.
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Hallo :)
Das ist eine Vorbereitungsaufgabe von unserem Prof. Leider habe ich keine Möglichkeit ihn nochmal zu kontaktieren, deswegen Frage ich hier.
Im Unterricht haben wir soetwas nicht behandelt. Vielleicht müsste ich es auch vom Abi wissen, aber das ist schon ein wenig her.
Kann mir jemand Hilfe zum Lösungsansatz geben?
Vielen Dank schonmal.
MfG Sven
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Do 01.06.2006 | | Autor: | choosy |
> gegeben: Datenfolge [mm]x_{1}, x_{2},[/mm] ..., [mm]x_{n}[/mm]
> betrachtet Funktion f(x)= [mm]\summe_{i=1}^{n}( x_{i}-x)²[/mm] in
> Abhängigkeit von x.
> Zeigen sie, dass f(x) an Stelle x = [mm]\overline{x}[/mm]
> (arithmetisches Mittel) minimal wird.
>
> Hallo :)
>
> Das ist eine Vorbereitungsaufgabe von unserem Prof. Leider
> habe ich keine Möglichkeit ihn nochmal zu kontaktieren,
> deswegen Frage ich hier.
> Im Unterricht haben wir soetwas nicht behandelt.
> Vielleicht müsste ich es auch vom Abi wissen, aber das ist
> schon ein wenig her.
> Kann mir jemand Hilfe zum Lösungsansatz geben?
>
> Vielen Dank schonmal.
>
> MfG Sven
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
hi, also das minimum ist jedenfalls nullstelle der 1. ableitung:
$f'(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n}2( x_{i}-x)=0$
[/mm]
also umgeformt
[mm] $x=\frac{1}{n} \summe_{i=1}^{n} x_{i}$
[/mm]
prinzipiell ist noch nachzuweisen, das dies ein minimum ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Do 01.06.2006 | | Autor: | siGGi666 |
alles klar, das klingt schonmal sehr vernünftig.
um zu zeigen, dass es ein minimum ist, müsste ich doch jetzt noch die 2. ableitung bilden und den x-wert einsetzen, oder?
ich komm aber absolut nicht mit diesem summenzeichen in der gleichung klar. wie zeige ich, dass die 2. ableitung > 0 ist?
vielen dank schonmal für deine hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 01.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo siGGi!
Wenn du mit dem Summenzeichen hier nicht so klar kommst, schreibe die 1. Ableitung doch ausführlich auf und leite dann ab (hier hatte sich auch in der vorigen Antwort ein Vorzeichenfehler eingeschlichen):
$ f'(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n}(\red{-}2)*(x_i-x) [/mm] \ = \ [mm] \red{-}2*\summe_{i=1}^{n}(x_i-x) [/mm] \ = \ [mm] \red{-}2*\left[(x_1-x)+(x_2-x)+...+(x_n-x)\right] [/mm] \ = \ [mm] \red{-}2*\left(\red{-}n*x+x_1+x_2+...+x_n\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{+}2n*x-2*\summe_{i=1}^{n}x_1$
[/mm]
Dabei ist der hinterste Term nun ein konstanter Ausdruck.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Do 01.06.2006 | | Autor: | siGGi666 |
langsam klärt sich der nebel :)
[mm]{f''(x)=2n}[/mm]
müsste es dann für meine begriffe heißen. womit bewiesen wäre, dass die 2. ableitung an jeder stelle x positiv ist, da n > 0.
besten dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Do 01.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo siGGi!
Auch wenn sich da zwischenzeitlich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen hatte (den ich durch einen Fehler meinerseits wieder "ausgeglichen" hatte), stimmt dieses Ergebnis für die 2. Ableitung und die Schlussfolgerung!
Gruß
Loddar
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