www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Diskrete Mathematik" - Summenschreibweise
Summenschreibweise < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Summenschreibweise: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:16 So 03.02.2019
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben seien n endliche Mengen [mm] $A_1, [/mm] ..., [mm] A_n$. [/mm] Sei [mm] $S_r [/mm] := [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{} |A_{i_1} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{i_r}|$ [/mm]



Hallo,

ich scheitere daran, wie man den (genau so auf dem Papier stehenden) Ausdruck $ [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{}$ [/mm] liest. Ich weiß, dass [mm] $\summe_{k=m}^{n} [/mm] = [mm] \summe_{m \le k \le n}^{}$ [/mm]

Ich vermute, dass es so viel bedeutet wie "bei r=3 läuft der Index der Summe von 1 nach 2 nach 3".

[mm] $S_1 [/mm] = [mm] |A_1|$ [/mm]
[mm] $S_2 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2|$ [/mm]
[mm] $S_3 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$ [/mm]
[mm] $S_4 [/mm] = [mm] |A_1| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3| [/mm] + [mm] |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|$ [/mm]
[mm] $S_5 [/mm] = ...$ und so fort

Kommt das hin?

Grüße
Thomas

        
Bezug
Summenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Mo 04.02.2019
Autor: Marc

Hallo magics,

> Gegeben seien n endliche Mengen [mm]A_1, ..., A_n[/mm]. Sei [mm]S_r := \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{} |A_{i_1} \cap ... \cap A_{i_r}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Müsste das nicht $1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}$ statt ${1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}$ lauten?

(Und evtl. auch sogar $1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n$? Meine Antwort ist allerdings nur für $1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}$.)

> ich scheitere daran, wie man den (genau so auf dem Papier
> stehenden) Ausdruck [mm]\summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le i_n}^{}[/mm]
> liest. Ich weiß, dass [mm]\summe_{k=m}^{n} = \summe_{m \le k \le n}^{}[/mm]
>  
> Ich vermute, dass es so viel bedeutet wie "bei r=3 läuft
> der Index der Summe von 1 nach 2 nach 3".

Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck $ [mm] |A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|$ [/mm] (beachten die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge [mm] $\{1,\ldots,n\}$, [/mm] und wegen $1 [mm] \le i_1 \le i_2 \le [/mm] ... [mm] \le i_r \le [/mm] n$ der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte, dass z.B. [mm] $A_1\cap A_2$ [/mm] mehrfach betrachtet wird, denn [mm] $A_1\cap A_2=A_2\cap A_1$) [/mm]

Z.B. ist für r=2 (und n=3)

[mm] $S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|$ [/mm]

>  
> [mm]S_1 = |A_1|[/mm]
>  [mm]S_2 = |A_1| + |A_1 \cap A_2|[/mm]
>  [mm]S_3 = |A_1| + |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|[/mm]
>  
> [mm]S_4 = |A_1| + |A_1 \cap A_2| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|[/mm]
>  
> [mm]S_5 = ...[/mm] und so fort
>  
> Kommt das hin?

Nein, siehe mein Beispiel oben.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Summenschreibweise: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Mo 04.02.2019
Autor: magics

Hallo Marc,

> Müsste das nicht [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}[/mm]
> statt [mm]{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}[/mm]
> lauten?

In der Tat, da hab ich mich beim notieren vertan..

> (Und evtl. auch sogar [mm]1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n[/mm]?

In der Formel steht es explizit mit [mm] $\le$. [/mm] Allerdings macht es, wenn ich dich richtig verstanden habe, wirklich keinen Sinn, da [mm] $|A_i \cap A_i| [/mm] = [mm] |\emptyset| [/mm] = 0$. Man könnte sich die leeren in der Summe also sparen, würde man die Ordnungsrelation $<$ benutzen.

> Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten
> beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck
> [mm]|A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|[/mm] (beachten
> die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge
> [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm], und wegen [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le n[/mm]
> der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte,
> dass z.B. [mm]A_1\cap A_2[/mm] mehrfach betrachtet wird, denn
> [mm]A_1\cap A_2=A_2\cap A_1[/mm])
>  
> Z.B. ist für r=2 (und n=3)
>  
> [mm]S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|[/mm]

Wunderbar! Ich halte nochmal fest für den Fall $r=2, n=3$:

[mm] $S_2 [/mm] := [mm] \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le 2}^{} |A_{i_1} \cap A_{i_2}|$ [/mm]

Man könnte also in Anlehnung an die Notation [mm] $\summe_{m \le k \le n}^{}$ [/mm] sagen, dass es für $r=2$ eben zwei Indices [mm] $i_1, i_2$ [/mm] gibt, wobei diese durch die Ordnungsrelation [mm] $\le$ [/mm] eingeschränkt werden.

Auf jeden Fall schonmal ein großes Dankeschön!

Grüße
Thomas


Bezug
                        
Bezug
Summenschreibweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Mo 04.02.2019
Autor: fred97


> Hallo Marc,
>  
> > Müsste das nicht [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{n}[/mm]
> > statt [mm]{1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le \red{i_n}[/mm]
> > lauten?
>
> In der Tat, da hab ich mich beim notieren vertan..
>  
> > (Und evtl. auch sogar [mm]1 \le i_1 \red{<} i_2 \red{<}\ldots\red{<} i_r \le n[/mm]?
>
> In der Formel steht es explizit mit [mm]\le[/mm]. Allerdings macht
> es, wenn ich dich richtig verstanden habe, wirklich keinen
> Sinn, da [mm]|A_i \cap A_i| = |\emptyset| = 0[/mm].

Das stimmt aber nicht ! Es ist [mm] A_i \cap A_i=A_i. [/mm]

Daher ist " [mm] \le [/mm] " korrekt !


> Man könnte sich
> die leeren in der Summe also sparen, würde man die
> Ordnungsrelation [mm]<[/mm] benutzen.
>  
> > Nein, r ist die Anzahl der Mengen, die an den Schnitten
> > beteiligt sein sollen. Dies siehst du an dem Ausdruck
> > [mm]|A_{i_\red{1}} \cap \ldots \cap A_{i_\red{r}}|[/mm] (beachten
> > die kleinen roten Indices). Das sind r Indices der Menge
> > [mm]\{1,\ldots,n\}[/mm], und wegen [mm]1 \le i_1 \le i_2 \le ... \le i_r \le n[/mm]
> > der Größe nach sortiert (da der Formelbauer nicht wollte,
> > dass z.B. [mm]A_1\cap A_2[/mm] mehrfach betrachtet wird, denn
> > [mm]A_1\cap A_2=A_2\cap A_1[/mm])
>  >  
> > Z.B. ist für r=2 (und n=3)
>  >  
> > [mm]S_2=|A_1\cap A_1|+|A_1\cap A_2|+|A_1\cap A_3|+|A_2\cap A_2|+|A_2\cap A_3|+|A_3\cap A_3|[/mm]
>  
> Wunderbar! Ich halte nochmal fest für den Fall [mm]r=2, n=3[/mm]:
>  
> [mm]S_2 := \summe_{1 \le i_1 \le i_2 \le 2}^{} |A_{i_1} \cap A_{i_2}|[/mm]
>  
> Man könnte also in Anlehnung an die Notation [mm]\summe_{m \le k \le n}^{}[/mm]
> sagen, dass es für [mm]r=2[/mm] eben zwei Indices [mm]i_1, i_2[/mm] gibt,
> wobei diese durch die Ordnungsrelation [mm]\le[/mm] eingeschränkt
> werden.
>  
> Auf jeden Fall schonmal ein großes Dankeschön!
>  
> Grüße
>  Thomas
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Mathematik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 6h 13m 5. HJKweseleit
UFormSprac/Modelltheorie und Logik
Status vor 6h 27m 2. HJKweseleit
UDiskrMath/Primfaktorzerlegung
Status vor 2d 5. Gonozal_IX
SIntRech/Mittlere Geschwindigkeit
Status vor 2d 6. luis52
SStochWkeit/Normalverteilung
Status vor 2d 3. magics
UDiskrMath/Restklassen und Erzeuger
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de