Summenwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Do 19.08.2010 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Summe von [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2}^{2*k}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Arbeite mich gerade wieder ein bißchen in Folgen und Reihen ein und habe noch ne kleine Frage.
Wenn ich die obige Reihe mit dem Wurzelkriterium untersuche bekomme ich ja: [mm]\wurzel[k]{\left|a_k\right|} = \wurzel [k]{\left|\frac{1}{2}^{2k}\right|}[/mm] und hier kommt dann [mm]\frac{1/4}[/mm] raus und damit ist gezeigt, dass die Reihe konvergiert.
Benutze ich jetzt dieSummenformel der geometrischen Reihe, bekomme ich [mm] \sum_{i}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2}^{2*k} = \frac{1}{1-(\frac{1}{2})^2} =[/mm] [mm]\frac{4}{3}[/mm] heraus.
Nur zur Entwirrung.Reihen auf Konvergenz untersuchen und Summenwerte ausrechnen ist nicht das gleiche, aber führe ich nicht zwangsläufig die gleichen Rechenoperationen durch wenn ich z.B. diesen Term auflöse [mm] \frac{n}{3n*1} =\frac {1}{3*\rac{1}{n}}[/mm] Also dieser Term könnte in einer Konvergenzbetrachtung und/oder in einer Summenwertbetrachtung auftauchen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Do 19.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie die Summe von [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2}^{2*k}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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> Arbeite mich gerade wieder ein bißchen in Folgen und
> Reihen ein und habe noch ne kleine Frage.
>
> Wenn ich die obige Reihe mit dem Wurzelkriterium untersuche
> bekomme ich ja: [mm]\wurzel[k]{\left|a_k\right|} = \wurzel [k]{\left|\frac{1}{2}^{2k}\right|}[/mm]
> und hier kommt dann [mm]\frac{1/4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
raus und damit ist gezeigt,
> dass die Reihe konvergiert.
Das brauchst du nicht.
Wenn du ein wenig umformst, hast du fast direkt eine sehr bekannte Reihe.
$ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{2\cdot{}k} $
$ =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}^{2}\right)}^{k} $
$ =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)}^{k} $
$ =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} $
> Benutze ich jetzt dieSummenformel der geometrischen Reihe,
> bekomme ich [mm]\sum_{i}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2}^{2*k} = \frac{1}{1-(\frac{1}{2})^2} =[/mm]
> [mm]\frac{4}{3}[/mm] heraus.
Die darfst du so noch nicht nutzen, da die geometrische reihe bei i=0 beginnt.
Addieren wir jetzt mal eine "nahrhafte 0", also -1+1,
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} [/mm] $
$ [mm] =-1+1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} [/mm] $
$ [mm] =-1+\left(\bruch{1}{4}\right)^{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} [/mm] $
$ [mm] =-1+\summe^{\infty}_{k=\red{0}}\left(\frac{1}{4}\right)^{k} [/mm] $
Jetzt kannst du loslegen.
>
> Nur zur Entwirrung.Reihen auf Konvergenz untersuchen und
> Summenwerte ausrechnen ist nicht das gleiche, aber führe
> ich nicht zwangsläufig die gleichen Rechenoperationen
> durch wenn ich z.B. diesen Term auflöse [mm]\frac{n}{3n*1} =\frac {1}{3*\rac{1}{n}}[/mm]
Das hängt alles irgendwie zusammen, klar.
> Also dieser Term könnte in einer Konvergenzbetrachtung
> und/oder in einer Summenwertbetrachtung auftauchen?
Klar.
Marius
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