Summenwert < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Fr 05.04.2013 | | Autor: | petapahn |
Hallo,
ich bin etwas verwirrt, da in meinem Skript steht, dass man den Summenwert einer konvergenten geometrischen Reihe [mm] \summe_{i=[b] 1[/b] }^{\infty} (q)^{i} [/mm] durch [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] berechnet. Sonst steht aber überall immer [mm] \summe_{i=[b] 0 [/b]}^{\infty} (q)^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}.
[/mm]
Was stimmt nun..ab 0 oder ab 1?
danke
viele Grüße
petapahn
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Hallo petapahn,
vorab: die Markierung mit [b][/b] funktioniert innerhalb des Formelsatzes nicht. Verwende dort lieber Farben.
> ich bin etwas verwirrt, da in meinem Skript steht, dass
> man den Summenwert einer konvergenten geometrischen Reihe
> [mm]\summe_{i=[b] 1[/b] }^{\infty} (q)^{i}[/mm] durch [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> berechnet. Sonst steht aber überall immer [mm]\summe_{i=[b] 0 [/b]}^{\infty} (q)^{i}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-q}.[/mm]
> Was stimmt nun..ab 0 oder ab 1?
Naja, Du könntest es demokratisch angehen. Die Mehrheit scheint ja für den Anfang bei i=0 zu sein. Andererseits kommen dann immer Leute mit dem bekannten Argument "6 Billionen Fliegen können nicht irren".
Zweite Möglichkeit: Du probierst es mal für ein paar Werte aus, sagen wir [mm] q=\tfrac{1}{2} [/mm] und [mm] q=\tfrac{2}{3} [/mm] usw.
Das muss nicht ganz genau sein; eine Abschätzung wird genügen.
Dritte Möglichkeit: Du nimmst mal die Summenformel für beliebige (auch nicht konvergente) geometrische Reihen und betrachtest den Spezialfall konvergenter Reihen und lässt den "oberen" Index gegen Unendlich laufen. Das ist schon eine mathematischere Vorgehensweise...
Vierte Möglichkeit: Du leitest die gerade besagte allgemeine Summenformel für geometrische Reihen nochmal selbst her und verwendest sie dann wie eben beschrieben. Das wäre das allerbeste.
Mit allen vier Varianten ergibt sich aber, dass Dein Skript da einen Tippfehler hat. Und hoffentlich auch nur das!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:26 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo petapahn,
>
> vorab: die Markierung mit [b][/b] funktioniert
> innerhalb des Formelsatzes nicht. Verwende dort lieber
> Farben.
>
> > ich bin etwas verwirrt, da in meinem Skript steht, dass
> > man den Summenwert einer konvergenten geometrischen
> Reihe
> > [mm]\summe_{i=[b] 1[/b] }^{\infty} (q)^{i}[/mm] durch [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> > berechnet. Sonst steht aber überall immer [mm]\summe_{i=[b] 0 [/b]}^{\infty} (q)^{i}[/mm]
>
> > = [mm]\bruch{1}{1-q}.[/mm]
> > Was stimmt nun..ab 0 oder ab 1?
>
> Naja, Du könntest es demokratisch angehen. Die Mehrheit
> scheint ja für den Anfang bei i=0 zu sein. Andererseits
> kommen dann immer Leute mit dem bekannten Argument "6
> Billionen Fliegen können nicht irren".
>
> Zweite Möglichkeit: Du probierst es mal für ein paar
> Werte aus, sagen wir [mm]q=\tfrac{1}{2}[/mm] und [mm]q=\tfrac{2}{3}[/mm]
> usw.
> Das muss nicht ganz genau sein; eine Abschätzung wird
> genügen.
>
> Dritte Möglichkeit: Du nimmst mal die Summenformel für
> beliebige (auch nicht konvergente) geometrische Reihen und
> betrachtest den Spezialfall konvergenter Reihen und lässt
> den "oberen" Index gegen Unendlich laufen. Das ist schon
> eine mathematischere Vorgehensweise...
>
> Vierte Möglichkeit: Du leitest die gerade besagte
> allgemeine Summenformel für geometrische Reihen nochmal
> selbst her und verwendest sie dann wie eben beschrieben.
> Das wäre das allerbeste.
ich bin für die vierte Variante.
Nebenher: Allgemein gilt für $N [mm] \in \IN_0$ [/mm] und [mm] $|q|<1\,$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=N}^\infty q^k=\frac{q^N}{1-q}\,.$
[/mm]
Ich nehme an, das Skript wollte/sollte
[mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{k=1}^\infty q^k=\frac{\red{q}}{1-q}$
[/mm]
beinhalten. Beim Copy & Paste-Vorgang hat man dann vergessen, bei der
letzten Formel den Zähler "zu korrigieren".
Wenn es ein handschriftliches Skript ist, kann es auch einfach sein, dass
das [mm] $q\,$ [/mm] total unsauber geschrieben wurde und petapahn es nicht
korrekt erkannt hat (manche Leute haben halt einfach eine Sauklaue!).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:19 Fr 05.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> ich bin etwas verwirrt, da in meinem Skript steht, dass
> man den Summenwert einer konvergenten geometrischen Reihe
> [mm]\summe_{i=[b] 1[/b] }^{\infty} (q)^{i}[/mm] durch [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> berechnet. Sonst steht aber überall immer [mm]\summe_{i=[b] 0 [/b]}^{\infty} (q)^{i}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-q}.[/mm]
> Was stimmt nun..ab 0 oder ab 1?
na, [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm] ist genau für alle $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] konvergent und
es gilt
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\,.$$ [/mm]
( Zum Beweis: siehe hier (klick!). Übrigens wäre es gut, wenn Du den (doch relativ einfachen)
Beweis verstehst und lernst, denn dann erübrigt sich eine derartige Frage
eigentlich von selbst.  )
Ferner gilt
[mm] $$\sum_{\red{k=1}}^\infty q^k=\frac{\green{q}}{1-q}\,.$$
[/mm]
Ich biete Dir zwei Beweise an (in "Kurzform"):
1. Beweis:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=q*\sum_{k=1}^\infty q^{k-1}=q*\sum_{\ell=0}^\infty q^\ell=q*\frac{1}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$
[/mm]
2. Beweis:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=(q^0+\sum_{k=1}^\infty q^k)-\underbrace{q^0}_{=1}=(\sum_{k=0}^\infty q^k)-1=\frac{1}{1-q}-1=\frac{1}{1-q}-\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-(1-q)}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$
[/mm]
(Alternativ könnte man naürlich einfach den Beweis der ersten Formel
imitieren:
Sei [mm] $t_n:=\sum_{k=1}^n q^k$ [/mm] für natürliches $n [mm] \ge 1\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $$q*t_n-t_n=\ldots=q^{n+1}-1\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$t_n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\,.$$
[/mm]
Für [mm] $|q|<1\,$ [/mm] folgt [mm] $q^{n+1} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] und daher
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q^k=\lim_{n \to \infty}t_n=\ldots\text{ )}$$
[/mm]
P.S. Ansonsten siehe auch hier (klick!).
Gruß,
Marcel
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