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Summenzeichen: idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Do 15.10.2009
Autor: Ayame

Aufgabe
Die Funktion $(1 + [mm] x)^{-m}$ [/mm] mit $m [mm] \in \IN$ [/mm] lässt sich durch die Reihe

$1 - mx + [mm] \bruch{-m (-m - 1)}{2!} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{-m (-m -1) \* (-m -2)}{3!} x^3 [/mm] + ....+ [mm] \bruch{-m (-m-1)...(-m-n+1)}{n!} x^{n}$ [/mm]

approximieren. Schreiben Sie die Reihe mit Summenzeichen.

ich versteh das gar nicht. besonders woher die fakultät kommt.
Könnte mir da jemand helfen '?

        
Bezug
Summenzeichen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 Do 15.10.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

Versuche mal die ersten 2-3 Glieder der Reihe auszuschreiben..

Tipp: Binominalkoeffizient :-)

[hut] Gruß

Bezug
                
Bezug
Summenzeichen: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Do 15.10.2009
Autor: Ayame

[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{-m \\ i} \* x^{i} [/mm]

Ist das so richtig ?

Bezug
                        
Bezug
Summenzeichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Do 15.10.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

ich würde es so machen:

[mm] \summe_{i=0}^{n}(-1)^{i}\vektor{m \\ i}x^{i} [/mm]

[hut] Gruß

Bezug
        
Bezug
Summenzeichen: verkürzte Schreibweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Do 15.10.2009
Autor: Loddar

Hallo Ayame!


Es geht in dieser aufgabe gar nicht darum, diese Formel herzuleiten oder "nur" zu verstehen.

Nimm sie nunmehr als gegeben hin. In dieser Aufgabe soll lediglich diese Reihe in verkürzter Schreibweise mit dem Summenzeichen dargestellt werden.

Dafür formen wir mal etwas um:

$$1 - m*x + [mm] \bruch{-m*(-m - 1)}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{-m* (-m -1) * (-m -2)}{3!} *x^3 [/mm]  + ....+ [mm] \bruch{-m* (-m-1)*...*(-m-n+1)}{n!} *x^n$$ [/mm]
$$= \ 1 +(-1)* m*x + [mm] \bruch{(-1)*m*(-1)*(m+1)}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{(-1)*m* (-1)*(m+1) *(-1)* (m+2)}{3!} *x^3 [/mm]  + ....+ [mm] \bruch{(-1)*m* (-1)*(m+1)*...*(-1)*(m+n-1)}{n!} *x^n$$ [/mm]
$$= \ [mm] \bruch{(-1)^0*1^}{0!}*x^0 +\bruch{(-1)^1* m}{1!}*x^1 [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^2*m*(m+1)}{2!}*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^3*m*(m+1) * (m+2)}{3!} *x^3 [/mm]  + ....+ [mm] \bruch{(-1)^n*m*(m+1)*...*(m+n-1)}{n!} *x^n$$ [/mm]
Erkennst Du nun eine Gesetzmäßigkeit?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Summenzeichen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 23:27 Do 15.10.2009
Autor: Tyskie84

Hallo Loddar,

es hat sich n kleiner Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen

> Hallo Ayame!
>  
>
> Es geht in dieser aufgabe gar nicht darum, diese Formel
> herzuleiten oder "nur" zu verstehen.
>  
> Nimm sie nunmehr als gegeben hin. In dieser Aufgabe soll
> lediglich diese Reihe in verkürzter Schreibweise mit dem
> Summenzeichen dargestellt werden.
>  
> Dafür formen wir mal etwas um:
>  
> [mm]1 - m*x + \bruch{-m*(-m - 1)}{2!}*x^2 + \bruch{-m* (-m -1) * (-m -2)}{3!} *x^3 + ....+ \bruch{-m* (-m-1)*...*(-m-n+1)}{n!} *x^n[/mm]
>  
> [mm]= \ 1 +(-1)* m*x + \bruch{(-1)*m*(-1)*(m+1)}{2!}*x^2 + \bruch{(-1)*m* (-1)*(m+1) *(-1)* (m+2)}{3!} *x^3 + ....+ \bruch{(-1)*m* (-1)*(m+1)*...*(-1)*(m+n-1)}{n!} *x^n[/mm]
>  
> [mm]= \ \bruch{(-1)^0*1^}{0!}*x^0 + \bruch{(-1)^{\red{1}}\cdot\\m}{1!}\cdot\\x^{1} + \bruch{(-1)^2*m*(m+1)}{2!}*x^2 + \bruch{(-1)^3*m*(m+1) * (m+2)}{3!} *x^3 + ....+ \bruch{(-1)^n*m*(m+1)*...*(m+n-1)}{n!} *x^n[/mm]
>  
> Erkennst Du nun eine Gesetzmäßigkeit?
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  


Bezug
                        
Bezug
Summenzeichen: ist behoben
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 23:33 Do 15.10.2009
Autor: Loddar

Hallo Tyskie!


[ok] Ist nunmehr in meinem Post korrigiert. Danke fürs Aufpassen.


Gruß
Loddar


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