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| Aufgabe | Sei [mm] \{a_j\}_{j \in J} [/mm] eine Familie nicht-negativer Zahlen und summierbar.
Dann folgt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists J_0 \in \varepsilon(J): \summe_{j \in J\setminus J_0} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \varepsilon(J) [/mm] ist die Menge aller endlichen Teilmengen von J. |
Hallo,
stimmt die obige Behauptung so?
Wenn ja, wie sieht der Beweis dazu aus?
Grüsse
Alexander
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Hiho,
> stimmt die obige Behauptung so?
> Wenn ja, wie sieht der Beweis dazu aus?
wo sind deine eigenen Ansätze dazu?
Dir vorrechnen wird hier sicherlich niemand.
Was heißt es denn, dass eine Familie summierbar ist?
Gilt die Aussage denn für abzählbar viele [mm] a_i [/mm] ?
Und und und.....
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 27.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Sei [mm]\{a_j\}_{j \in J}[/mm] eine Familie nicht-negativer Zahlen
> und summierbar.
> Dann folgt: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists J_0 \in \varepsilon(J): \summe_{j \in J\setminus J_0}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\varepsilon(J)[/mm] ist die Menge aller endlichen Teilmengen von
> J.
Hallo Alexander,
Die Aussage stimmt. Aber beim Beweis können wir Dir nur helfen, wenn wir die Definition von "summierbarer Familie" kennen. Von der Schreibweise erinnert das sehr an Königsberger, Analysis I, Abschnitt 6.3. Zeige zunächst, daß für jede endliche Teilmenge [mm] $I\subseteq [/mm] J$ mit [mm] $(a_i\mid i\in [/mm] J)$ auch die Familie [mm] $(a_i\mid i\in J\setminus [/mm] I)$ summierbar ist.
Vielleicht hattet Ihr auch den "Großen Umordnungssatz". Damit ist der Beweis dann sehr kurz.
Dieser Stoff gehört leider nicht zum Kanon typischer Analysiskurse, daher tue ich mich schwer, hier zu helfen.
Übrigens, bezeichne die Menge endlicher Teilmengen von $J$ besser mit [mm] ${\cal E}(J)$ [/mm] statt mit [mm] $\epsilon(J)\,.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang und Gonozal_IX,
die Idee war die folgende:
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine komplexe Folge und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergent.
Dann ist die die Folge [mm] (R_n) [/mm] mit [mm] R_{n+1} [/mm] := [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}a_k [/mm] eine Nullfolge (war mal auf einem Übungsblatt). Man lässt ja also die ersten n Glieder der Reihe weg.
Dann hatte ich mir überlegt, dass sich das auch auf summierbare Familien übertragen lassen müsste.
Defintion (Summierbarkeit einer Familie nicht-negativer Zahlen)
Sei J eine beliebige unendliche Indexmenge, und [mm] \{a_j\}_{j \in J} [/mm] eine Familie mit [mm] a_j \ge [/mm] 0 für alle j. Bezeichne mit [mm] {\cal E}(J) [/mm] die Menge aller endlichen Teilmengen von J. Die Familie [mm] \{a_j\}_{j \in J} [/mm] heißt summierbar, falls [mm] \sup\limits_{J_0 \in {\cal E}(J)}\summe_{j \in J_0}a_j [/mm] < [mm] +\infty
[/mm]
Meine Behauptung ist jetzt:
Sei [mm] \{a_j\}_{j \in J} [/mm] eine Familie nicht-negativer Zahlen und summierbar.
Dann folgt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists J_0 \in \varepsilon(J): \summe_{j \in J\setminus J_0} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Der Beweis dazu sieht wie folgt aus (habe ich nicht selber gemacht):
Sei A := [mm] \sup\limits_{J_0 \in {\cal E}(J)}\summe_{j \in J_0}a_j [/mm] < [mm] +\infty.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann existiert ein [mm] J_0 \in {\cal E}(J), [/mm] sodass [mm] \summe_{j \in J_0}a_j [/mm] > A - [mm] \varepsilon [/mm] (nach Defintion des Supremums).
[mm] \summe_{j \in J\setminus J_0}a_j [/mm] = [mm] \summe_{j \in J}a_j [/mm] - [mm] \summe_{j \in J_0}a_j [/mm] < A - (A - [mm] \varepsilon) [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Da [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig ist, folgt die Behauptung.
Gruss
Alexander
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Di 29.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Wolfgang und Gonozal_IX,
>
> die Idee war die folgende:
>
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine komplexe Folge und [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n[/mm]
> konvergent.
> Dann ist die die Folge [mm](R_n)[/mm] mit [mm]R_{n+1}[/mm] :=
> [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty}a_k[/mm] eine Nullfolge (war mal auf
> einem Übungsblatt). Man lässt ja also die ersten n
> Glieder der Reihe weg.
> Dann hatte ich mir überlegt, dass sich das auch auf
> summierbare Familien übertragen lassen müsste.
>
> Defintion (Summierbarkeit einer Familie nicht-negativer
> Zahlen)
>
> Sei J eine beliebige unendliche Indexmenge, und [mm]\{a_j\}_{j \in J}[/mm]
> eine Familie mit [mm]a_j \ge[/mm] 0 für alle j. Bezeichne mit [mm]{\cal E}(J)[/mm]
> die Menge aller endlichen Teilmengen von J. Die Familie
> [mm]\{a_j\}_{j \in J}[/mm] heißt summierbar, falls [mm]\sup\limits_{J_0 \in {\cal E}(J)}\summe_{j \in J_0}a_j[/mm]
> < [mm]+\infty[/mm]
>
> Meine Behauptung ist jetzt:
>
> Sei [mm]\{a_j\}_{j \in J}[/mm] eine Familie nicht-negativer Zahlen
> und summierbar.
> Dann folgt: [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists J_0 \in \varepsilon(J): \summe_{j \in J\setminus J_0}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Der Beweis dazu sieht wie folgt aus (habe ich nicht selber
> gemacht):
>
> Sei A := [mm]\sup\limits_{J_0 \in {\cal E}(J)}\summe_{j \in J_0}a_j[/mm]
> < [mm]+\infty.[/mm]
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Dann existiert ein [mm]J_0 \in {\cal E}(J),[/mm]
> sodass [mm]\summe_{j \in J_0}a_j[/mm] > A - [mm]\varepsilon[/mm] (nach
> Defintion des Supremums).
> [mm]\summe_{j \in J\setminus J_0}a_j[/mm] = [mm]\summe_{j \in J}a_j[/mm] -
> [mm]\summe_{j \in J_0}a_j[/mm] < A - (A - [mm]\varepsilon)[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
> Da [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig ist, folgt die Behauptung.
Hallo Alexander,
Hier benutzt Du
[mm] $\sum_{j\in J} a_j =\sum_{j\in J_0} a_j [/mm] + [mm] \sum_{j\in J\setminus J_0} a_j\,,$
[/mm]
und dies gilt nach dem Großen Umordnungssatz. Hattet Ihr den?
Gruß,
Wolfgang
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Wir hatten den nicht explizit so genannt, aber geht der so?
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine reelle Folge.
Angenommen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n^+ [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n^- [/mm] = [mm] +\infty. [/mm] Sei w [mm] \in \IR. [/mm] Dann existiert eine bijektive Abbildung f: [mm] \IN \to \IN, [/mm] sodass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{f(n)} [/mm] = w.
[mm] a^{+} [/mm] = [mm] max\{0,a\} [/mm]
[mm] a^{-} [/mm] = [mm] -min\{a,0\}
[/mm]
Für Familien hatten wir nichts vergleichbares.
Gruss
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 Di 29.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Wir hatten den nicht explizit so genannt, aber geht der
> so?
>
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine reelle Folge.
> Angenommen [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n^+[/mm] = [mm]+\infty[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_n^-[/mm] = [mm]+\infty.[/mm] Sei w [mm]\in \IR.[/mm] Dann
> existiert eine bijektive Abbildung f: [mm]\IN \to \IN,[/mm] sodass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{f(n)}[/mm] = w.
>
> [mm]a^{+}[/mm] = [mm]max\{0,a\}[/mm]
> [mm]a^{-}[/mm] = [mm]-min\{a,0\}[/mm]
Nein, der "Große Umordnungssatz" ist größer!
Ist [mm] $J=\bigcup \{J_k\mid k \in K\}$ [/mm] eine disjunkte Vereinigung und die Familie [mm] $(a_i\mid i\in [/mm] J)$ summierbar, so ist jede Teilfamilie [mm] $(a_i\mid i\in J_k)$ [/mm] summierbar und es ist
[mm] $\sum_{i\in J} a_i [/mm] = [mm] \sum_{k\in K}\sum_{i\in J_k} a_i\,.$
[/mm]
In unserem Fall erhalten wir etwa mit [mm] $K=\{1, 2\}$ [/mm] und [mm] $J_1=J_0, J_2=J\setminus J_0$ [/mm] die Formel
[mm] $\sum_{i\in J} a_i= \sum_{k=1}^2 \sum_{i\in J_k} a_i [/mm] = [mm] \sum_{i\in J_1}a_i [/mm] + [mm] \sum_{i\in J_2} a_i [/mm] = [mm] \sum_{i\in J_0}a_i [/mm] + [mm] \sum_{i\in J\setminus J_0} a_i\,.$
[/mm]
>
> Für Familien hatten wir nichts vergleichbares.
Heißt das, Ihr habt die Formel als "offensichtlich" gar nicht begründet?
Gruß,
Wolfgang
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Okay, das hatten wir doch. Wir haben das ,,Großes Assoziativgesetz" genannt.
Gruss
Alexander
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