Sup,Inf,Max,Min bestimmen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende Mengen A,B,C [mm] \subset \IR [/mm] beschränkt sind, und bestimmen Sie jeweils das Supremum und das Infimum. Entscheiden Sie ferner, ob die jeweiligen Mengen ein Maximum bzw. Minimum besitzen.
A:={ [mm] \bruch{(-1)^n}{n}|n\in\IN [/mm] }
B:={ [mm] \bruch{2-n}{n}|n\in\IN [/mm] }
C:={ [mm] \bruch{x}{x+3}|x [/mm] > 0 } |
Hallo,
ich habe es mal für A versucht und würde gerne wissen, ob das soweit richtig ist, damit ich es dann auf B und C übertragen kann.
Also erstmal zur Beschränktheit:
Sei M [mm] \ge [/mm] 0 und |x| [mm] \le [/mm] M [mm] \forall x\in [/mm] A
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{n} \le [/mm] M (weil |x| = [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0< [mm] \bruch{1}{n} \le [/mm] M (weil 0 < [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist beschränkt
Supremum:
Sei K, K' [mm] \in \IR
[/mm]
K ist obere Schranke, wenn K=1
Angenommen K' < K
[mm] \Rightarrow [/mm] K' < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] Also ist K' keine obere Schranke, da K' [mm] \not= [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] K ist die kleinste obere Schranke von A
[mm] \Rightarrow [/mm] sup(A)=1
Infimum:
Sei K, K' [mm] \in \IR
[/mm]
K ist untere Schranke, wenn K=0
Angenommen K' > K
[mm] \Rightarrow [/mm] K' > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Also ist K' keine untere Schranke, da K' [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] K ist die kleinste untere Schranke von A
[mm] \Rightarrow [/mm] inf(A)=0
Maximum:
Aus sup(A)=1 [mm] \in [/mm] A folgt max(A)=1
Minimum:
Weil inf(A)=0 [mm] \notin [/mm] A gibt es kein Minum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 So 02.11.2008 | | Autor: | Kocram |
Hmm, keiner?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Kocram |
Ach kommt schon,
irgendwie kann ich mir nicht mehr so wirklich vorstellen, dass das so richtig ist, denn B und C wären dann ja wirklich fast identisch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ich guck' gleich mal drüber. (Warte bitte die Antwort auf Deine Ausgangsfrage ab.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Zeigen Sie, dass folgende Mengen A,B,C [mm]\subset \IR[/mm]
> beschränkt sind, und bestimmen Sie jeweils das Supremum und
> das Infimum. Entscheiden Sie ferner, ob die jeweiligen
> Mengen ein Maximum bzw. Minimum besitzen.
>
> A:=[mm]\{\bruch{(-1)^n}{n}|n\in\IN\}[/mm]
>
> B:=[mm]\{\bruch{2-n}{n}|n\in\IN\}[/mm]
>
> C:=[mm]\{\bruch{x}{x+3}|x > 0\}[/mm]
> ich habe es mal für A versucht und würde gerne wissen, ob
> das soweit richtig ist, damit ich es dann auf B und C
> übertragen kann.
okay.
> Also erstmal zur Beschränktheit:
> Sei M [mm]\ge[/mm] 0 und |x| [mm]\le[/mm] M [mm]\forall x\in[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{n} \le[/mm] M (weil |x| = [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0< [mm]\bruch{1}{n} \le[/mm] M (weil 0 < [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist beschränkt
Na, das beißt sich formal. Denn Du schreibst: Sei $M$ eine obere Schranke für $A$ (siehe: "Sei M $ [mm] \ge [/mm] $ 0 und |x| $ [mm] \le [/mm] $ M $ [mm] \forall x\in [/mm] $ A "), dann folgt... also ist $A$ beschränkt.
Logisch gesehen steht da nur: Wenn wir voraussetzen, dass $A$ beschränkt ist, dann ist $A$ beschränkt.
Also: Pass' ein bisschen mit der Logik auf. Du hast zu zeigen: Es existiert ein $M [mm] \ge [/mm] 0$, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt: $|x| [mm] \le M\,.$
[/mm]
Du mußt nur ein solches $M [mm] \ge [/mm] 0$ konkret angeben können. Dazu kannst Du $M:=1$ wählen und nachweisen, dass dann für alle $x [mm] \in [/mm] A$ auch $|x| [mm] \le [/mm] M=1$ gilt. Du kannst aber auch $M:=10$ wählen.
Denn:
Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ existiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $x=\frac{(-1)^n}{n}\,.$ [/mm] Also folgt:
[mm] $$|x|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n} \le [/mm] 1 [mm] \le 10\,,$$
[/mm]
also gilt für jedes $x [mm] \in [/mm] A$, dass
$$|x| [mm] \le M=10\,.$$
[/mm]
Ist Dir der logische Unterschied klar?
> Supremum:
> Sei K, K' [mm]\in \IR[/mm]
> K ist obere Schranke, wenn K=1
( Edit: Das verstehe ich nicht. $K=10$, $K=100$ und [mm] $K=\pi$ [/mm] sind alles obere Schranken für $A$ Ah okay, ich hab's falsch gelesen: Du meinst eigentlich nur: $K=1$ ist eine obere Schranke. Das ist natürlich okay.). Überlege Dir folgendes:
Für alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt $x [mm] \le \frac{1}{2}\,$ [/mm] (beachte, dass hier links [mm] $\black{x}$ [/mm] und nicht [mm] $|\black{x}|$ [/mm] steht.)
Daraus folgt dann [mm] $\text{sup}(A) \le \frac{1}{2}\,.$ [/mm] Warum gilt denn hier auch [mm] $\text{sup}(A) \ge \frac{1}{2}$?
[/mm]
(Tipp: Betrachte [mm] $\bruch{(-1)^n}{n}$ [/mm] für [mm] $n=2\,.$)
[/mm]
> Angenommen K' < K
> [mm]\Rightarrow[/mm] K' < 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] Also ist K' keine obere Schranke, da K' [mm]\not=[/mm]
> 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] K ist die kleinste obere Schranke von A
> [mm]\Rightarrow[/mm] sup(A)=1
>
> Infimum:
> Sei K, K' [mm]\in \IR[/mm]
> K ist untere Schranke, wenn K=0
> Angenommen K' > K
> [mm]\Rightarrow[/mm] K' > 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Also ist K' keine untere Schranke, da K' [mm]\not=[/mm]
> 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] K ist die kleinste untere Schranke von A
> [mm]\Rightarrow[/mm] inf(A)=0
>
> Maximum:
> Aus sup(A)=1 [mm]\in[/mm] A folgt max(A)=1
>
> Minimum:
> Weil inf(A)=0 [mm]\notin[/mm] A gibt es kein Minum.
Also ehrlich gesagt verstehe ich da so manches nicht. Vielleicht schreibst Du Dir mal die Menge $A$ erstmal auf:
[mm] $$A=\left\{\frac{(-1)^n}{n}:\;n \in \IN\right\}=\left\{\green{\;\frac{-1}{1}}, \;\blue{\frac{+1}{2}},\;\;\green{\frac{-1}{3}}, \;\blue{\frac{+1}{4}},\;\;\green{\frac{-1}{5}}, \;\blue{\frac{+1}{6}},\;...\right\}$$
[/mm]
Und jetzt weißt Du schonmal:
$A$ ist beschränkt. Genauer kann man sich hier überlegen:
[mm] $\text{inf}(A)=\text{min}(A)=-1$ [/mm] und [mm] $\text{sup}(A)=\text{max}(A)=\frac{1}{2}\,.$ [/mm] Die Überlegung mit dem Supremum findest Du oben, mit dem Infimum musst Du analog überlegen.
So, und damit Du auch mal etwas anderes siehst, mache ich Dir auch gerne mal ein anderes Beispiel vor:
Wir betrachten die Menge [mm] $$Z:=\left\{\frac{n-1}{n},\;\frac{1-n}{n}\,|\; n \in \IN\right\}$$
[/mm]
Diese Menge ist beschränkt. Wir zeigen die Existenz einer Schranke für [mm] $\black{Z}\,:$ [/mm]
(Vorüberlegung:
Für jedes $z [mm] \in [/mm] Z$ gilt [mm] $z=\frac{n_1-1}{n_1}$ [/mm] mit einem [mm] $n_1 \in \IN$, [/mm] oder es gilt [mm] $z=\frac{1-n_2}{n_2}$ [/mm] mit einem [mm] $n_2 \in \IN\,.$ [/mm] In beiden Fällen gilt [mm] $|z|=\frac{n_{1,2}-1}{n_{1,2}} \le \frac{n_{1,2}}{n_{1,2}}=1\,.$
[/mm]
Dies zeigt: Wählen wir irgendein $M [mm] \ge [/mm] 1$, so ist [mm] $\black{M}$ [/mm] eine Schranke für [mm] $\black{Z}\,.$ [/mm] Das schreiben wir jetzt in einer logisch passenden Reihenfolge auf...)
Wir setzen [mm] $M:=1\,.$ [/mm] Ist $z [mm] \in [/mm] Z$ beliebig, so folgt, dass ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] existiert, so dass [mm] $|z|=\frac{n-1}{n}\,$ [/mm] (genauer: siehe Vorüberlegung). Damit gilt dann aber $|z| [mm] \le \frac{n}{n}=1=M\,.$ [/mm] Weil $z [mm] \in [/mm] Z$ beliebig war, gilt [mm] $\forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z: |z| [mm] \le M=1\,.$ [/mm] Also ist [mm] $\black{Z}$ [/mm] beschränkt.
So, und jetzt behaupte ich: [mm] $\text{sup}(Z)=1$ [/mm] und [mm] $\text{inf}(Z)=-1\,.$ [/mm] Ich zeige Dir jetzt zunächst mal, warum [mm] $\text{inf}(Z)=-1\,:$
[/mm]
Wir haben schon gesehen, dass [mm] $\forall [/mm] z [mm] \in [/mm] Z$ gilt: $|z| [mm] \le 1\,.$ [/mm] Das ist gleichwertig mit: Für alle $z [mm] \in [/mm] Z$ gilt $-1 [mm] \le [/mm] z [mm] \le 1\,.$ [/mm] Insbesondere gilt also $z [mm] \ge [/mm] -1$ für alle $z [mm] \in [/mm] Z$, also ist $-1$ eine untere Schranke für [mm] $\black{Z}\,.$
[/mm]
Angenommen, es wäre [mm] $\inf(Z)=:I [/mm] > [mm] -1\,.$ [/mm]
(Wir zeigen, dass dann aber ein $z [mm] \in [/mm] Z$ existiert mit $z < [mm] I\,,$ [/mm] woraus folgte, dass dann $I$ doch nicht das Infimum von [mm] $\black{Z}$ [/mm] sein könnte (weil $I$ dann gar keine untere Schranke von $Z$ wäre).)
Dann ist [mm] $\varepsilon:=I+1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Zu diesem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert dann aber ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$
[/mm]
Wir betrachten nun [mm] $z:=z_N:=\frac{1-N}{N}\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $z_N \in Z\,.$ [/mm] Weiter gilt aber $z < I$, denn:
$z < I$ [mm] $\gdw$ $\frac{1}{N}-1=\frac{1-N}{N} [/mm] < I$ [mm] $\gdw$ $\frac{1}{N} [/mm] < [mm] I+1=\varepsilon\,.$
[/mm]
Wir hatten aber $N [mm] \in \IN$ [/mm] gerade mit [mm] $\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gewählt, so dass die letzte Äquivalenzkette uns $z < I$ liefert (durch Verfolgen der Pfeile [mm] $\Leftarrow\,.$)
[/mm]
Daher kann nicht $I > -1$ gelten und folglich gilt [mm] $\text{inf}(Z)=-1\,.$
[/mm]
Weiter gilt [mm] $\text{min}(Z)$ [/mm] existiert nicht:
Denn: Angenommen, doch. Dann gilt [mm] $\text{inf}(Z)=\text{min}(Z)\,.$ [/mm] Also gilt dann [mm] $\text{min}(Z)=-1\,.$ [/mm] Nach Definition von $Z$ gibt es dann aber ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1-n}{n}=-1$, [/mm] oder es gibt ein [mm] $\tilde{n} \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{\tilde{n}-1}{\tilde{n}}=-1\,.$ [/mm] Letzteres ist alleine schon wegen [mm] $\frac{\tilde{n}-1}{\tilde{n}} \ge [/mm] 0$ [mm] ($\forall \tilde{n} \in \IN$) [/mm] unmöglich.
Wir testen, ob es aber vielleicht ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\frac{1-n}{n}=-1$ [/mm] geben kann:
Nehmen wir, es gäbe ein solches $n [mm] \in \IN$, [/mm] also sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{1-n}{n}=-1\,.$
[/mm]
Dann folgt aber $1-n=-n$ bzw. der Widerspruch [mm] $1=0\,.$ [/mm] Also kann ein solches $n [mm] \in \IN$ [/mm] nicht esxistieren.
Konsequenz:
[mm] $\text{inf}(Z)=-1$ [/mm] und [mm] $\text{min}(Z)$ [/mm] existiert nicht. Die Überlegen für [mm] $\text{sup}(Z)\,,$ $\text{max}(Z)$ [/mm] erspare ich mir (im übrigen dürfte man das bei der Vervollständigung des Beweises auch aus gewissen Symmetriegründen).
So, ich hoffe, das Beispiel macht die ganze Geschichte etwas klarer. Die Aufgabe mit der Menge [mm] $\black{B}$ [/mm] sollte Dir dann eigentlich leicht fallen. [mm] ($\text{inf}(B)=-2$ [/mm] und Minimum für $B$ existiert nicht.)
Bei der Menge [mm] $\black{C}$:
[/mm]
Dort ist das Infimum gerade $0$ (Warum?), ein Minimum existiert nicht (das folgt schon, weil für $x > 0$ stets [mm] $\frac{x}{x+3} [/mm] > 0$ ist). Das Supremum ist $1$, und ein Maximum existiert nicht.
(Nimm an, es gäbe doch ein Maximum. Weil [mm] $\text{sup}(C)=1$, [/mm] so müsste auch [mm] $\text{max}(C)=1$ [/mm] sein. Dann gäbe es aber ein $x > 0$ mit [mm] $\frac{x}{x+3}=1$... [/mm] führe das zum Widerspruch.)
Gruß,
Marcel
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