Sup Inf Max und Min bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Bestimme das Supremum Infimum Maximum und Minimum der Menge
M= [mm] \{\bruch{1}{m}+\bruch{1}{n} : m,n \in IN\} [/mm] |
Mein Ansatz:
für m und n 1 einsetzen:
[mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{1}=2 [/mm] m,n [mm] \in IN\
[/mm]
supM=2
maxi=1 ( denn 1 wäre das größte Element der Menge M)
für m und n 0 einsetzen = teilen durch Null nicht möglich
für m und n 2 einsetzen = 1
also ist 1 eine untere Schranke
wenn ich [mm] \limes_{m,n\rightarrow\infty} [/mm] nehme, geht [mm] \bruch{1}{m}+\bruch{1}{n} [/mm] gegen 0
also gäbe es kein Minimum, da es kein kleinstes Element der Menge M gibt
Sind meine Ansätze hier richtig?
Ich selbst frage mich, was ist wenn [mm] n\not=m [/mm] ist...
Ausserdem habe ich Probleme die Beweise darzustellen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
ne, deine Ansätze sind nicht ganz richtig:
Also, erstmal ganz allgemein:
Sei Menge M aus R gegeben, so gilt:
falls maxM existiert so gilt maxM=supM für inf und min das gleiche.
da nun [mm] \bruch{1}{n}>0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \bruch{1}{m}>0 \forall [/mm] m [mm] \in \IN
[/mm]
und infM=0, so kannst du davon ausgehen, dass min nicht existiert!!!
allerdings musst du erst zeigen, dass infM=0 gilt
ok
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
ich verstehe nicht wie ich infM=0 zeigen soll, da müsste ich für n oder m
eine negative Zahl nehmen...( aber es ist ja n und m im Bereich IN)
vielleicht mit einer Folge wie zum Beispiel [mm] x_{D} \bruch{-1}{n} [/mm] ?
Also: [mm] \bruch{1}{\bruch{-1}{n´}+m}+\bruch{1}{\bruch{-1}{n´}+n}
[/mm]
also irgendwie mich mit einer Folge an das infM annähern...ein kleinen Hinweis vielleicht?
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Hallo Feiratos,
> Hallo,
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> ich verstehe nicht wie ich infM=0 zeigen soll, da müsste
> ich für n oder m
> eine negative Zahl nehmen...( aber es ist ja n und m im
> Bereich IN)
>
> vielleicht mit einer Folge wie zum Beispiel [mm]x_{D} \bruch{-1}{n}[/mm]
> ?
>
> Also:
> [mm]\bruch{1}{\bruch{-1}{n´}+m}+\bruch{1}{\bruch{-1}{n´}+n}[/mm]
>
> also irgendwie mich mit einer Folge an das infM
> annähern...ein kleinen Hinweis vielleicht?
Sergej hat bereits gesagt, dass in $M$ durchweg positive Zahlen sind, betrachte für das Infimum doch [mm] $\lim\limits_{m,n\to\infty}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
[mm] \limes_{m,n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{m}+\bruch{1}{n}), [/mm] also gegen 0.
also [mm] 0<\bruch{1}{m}+\bruch{1}{n}?
[/mm]
das bedeutet das die Menge unendl. klein wird,daher kein minM.
aber infM=0? kann ich das Archimedische Axiom auch für das Infimum benutzen?
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> [mm]\limes_{m,n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{m}+\bruch{1}{n}),[/mm]
> also gegen 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also [mm]0<\bruch{1}{m}+\bruch{1}{n}?[/mm] und zwar für alle [mm] $n,m\in\IN$
[/mm]
>
> das bedeutet das die Menge unendl. klein wird,daher kein
> minM.
Ich glaube, du meinst es richtig, sagen wir es so:
Die Elemente in M kommen der Null beliebig nahe, erreichen 0 aber nicht, also [mm] $0=\inf(M)$, [/mm] aber nicht [mm] $\min$, [/mm] da [mm] $0\notin [/mm] M$
>
> aber infM=0?
> kann ich das Archimedische Axiom auch für das Infimum benutzen?
Gegenfrage: wie? skizziere mal die Idee, die du dabei hast ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Ok mache ich sofort, dauert nur ein paar Minütchen....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Feiratos |
Also meine skizzierte Idee mit dem archimedischen Axiom:
ich gehe davon aus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nicht nach unten beschränkt ist, also für alle [mm] a\in\IR [/mm] existiert ein [mm] n\in\IN [/mm] a>n
Beweis indirekt, dh. Annahme dass [mm] \IN [/mm] nach unten beschränkt ist.
ach moment, das geht ja gar nicht, weil sich der Beweis auf das Vollständigkeitsaxiom bezieht, und das sagt ja dass jede nichtleere von oben beschränkte Menge reeler Zahlen ein sup besitzt.
kann ich das auch einfach umwandeln und fürs inf analog benutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Di 26.08.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also meine skizzierte Idee mit dem archimedischen Axiom:
>
> ich gehe davon aus, dass die Menge der natürlichen Zahlen
> nicht nach unten beschränkt ist, also für alle [mm]a\in\IR[/mm]
> existiert ein [mm]n\in\IN[/mm] a>n
Das ist falsch, denn die Menge der natürlichen Zahlen ist nach unten beschränkt, sie hat 1 als Minimum.
>
> Beweis indirekt, dh. Annahme dass [mm]\IN[/mm] nach unten beschränkt
> ist.
> ach moment, das geht ja gar nicht, weil sich der Beweis
> auf das Vollständigkeitsaxiom bezieht, und das sagt ja dass
> jede nichtleere von oben beschränkte Menge reeler Zahlen
> ein sup besitzt.
> kann ich das auch einfach umwandeln und fürs inf analog
> benutzen?
Ja, das ist das Gleiche, denn wenn du die Vorzeichen aller Elemente deiner nach oben beschränkten Menge umdrehst, so ist die entstehende Menge nach unten beschränkt und besitzt ein Infimum.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Max1603 |
oder man nimmt an dass infM>0 und dies zum Widerspruch führt
und beim widerspruch das hier benutzt
> [mm]\lim\limits_{m,n\to\infty}\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)[/mm] <
ich glaube das meintest du auch
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