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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:18 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Markus23 |
| Aufgabe | ich möchte diese sinus Funktionen Addieren.
y1=4*sin(2t)
y2=3*sin(2t+60°)
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Hallo,
ich weiß das man y1 und y2 auch so schreiben kann:
y1=4*(cos(2t)+i sin(2t))
y2=3*(cos(2t+60)+i sin(2t+60))
aber wie komme ich dazu?
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Gruß!
Naja, nicht ganz. Du kannst die beiden Funktionen als Imaginärteil einer komplexen Funktion auffassen.
Geometrisch gesehen liegt für jedes reelle $t$ der Punkt [mm] $(\cos [/mm] t, [mm] \sin [/mm] t)$ auf dem Einheitskreis mit Winkel $t$. (Das ist klar).
Fasst man die Punkte in der Ebene als komplexe Zahlen auf, haben also alle Punkte auf dem Einheitskreis die Form [mm] $\cos [/mm] t + i [mm] \sin [/mm] t$ für ein $t [mm] \in \IR$, [/mm] welches den Winkel angibt. Insofern kann man den Sinus als Imaginärteil dieser komplexen Zahl ansehen.
Die Bedeutung liegt darin, dass sich für diese Zahl eine "abkürzende Schreibweise" eingebürgert hat, man schreibt nämlich
[mm] $e^{it} [/mm] = [mm] \cos [/mm] t + i [mm] \sin [/mm] t$
Natürlich steckt da ein tieferer Sinn hinter - wenn ihr schon Taylor-Reihen gemacht habt, kannst Du ja versuchen, diese Formel mit Sinn zu füllen. Aber meist werden Sinus und Cosinus eben wie oben definiert.
Das Schöne an dieser Schreibweise ist, dass die üblichen Gesetze gelten:
[mm] $e^{it} \cdot e^{is} [/mm] = [mm] e^{i(t+s)}$
[/mm]
Also bei Multiplikation addieren sich die Winkel. Ausgeschrieben läuft das auf Additionstheoreme hinaus.
Ich hoffe, ich konnte den Sinn ein wenig erläutern... 
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Markus23 |
Hallo, kann es sein,
das die Addition von 2-er Schwinungungen nichts direkt mit dem Additionstheorem zutun hat,
sondern das mein die Schwingungen als zeiger darstellen kann und das wiederrum als Komplex.
gruß Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Markus,
> Hallo, kann es sein,
> das die Addition von 2-er Schwinungungen nichts direkt mit
> dem Additionstheorem zutun hat,
> sondern das mein die Schwingungen als zeiger darstellen
> kann und das wiederrum als Komplex.
du kannst das eine in das andere umformen
aber erst mal zu deinem Additionstheorem:
[mm] y=y_1+y_2
[/mm]
$ y=4*sin(2t)+3*sin(2t+60°) $
jetzt wende für [mm] y_2 [/mm] das Additionstheorem
[mm] sin(\omega*t+\phi_2)=sin(\omega*t)*cos(\phi_2)+cos(\omega*t)*sin(\phi_2) [/mm] an.
dann sortierst du nach sin und cos und hast dein neues y.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Markus23 |
danke habe es verstanden )
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