Suprema Element des Schnitts < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien X,Y⊂R und nach oben beschränkt. Sei X∩Y nicht ∅. Außerdem sei sup(X)=max(X) und sup(Y)=max(Y).
Muss dann auch X∩Y ein Maximum besitzen?
Falls ja, beweisen Sie es. Falls nein, geben Sie ein Gegenbeispiel an. |
Ich weiß dass das sup(X∩Y)≤min{supX,supY} ist.
Also finde ich keinen Beweisansatz für sup(X)=max(X) oder sup(Y)=max(Y), da sup(X) und sup(Y) nicht Element von X∩Y sein müssen.
Es folgt also eine Unabhängigkeit des sup(X∩Y) von den Suprema der Mengen X und Y.
Theoretisch würde daraus ja folgen, dass es Schnittmengen geben kann, in denen zwar sup(X)=max(X) und sup(Y)=max(Y), aber sup(X∩Y) [mm] \not\in [/mm] X∩Y.
Ich finde nach langer Suche kein Gegenbeispiel. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
betrachte
[mm] X:=]1,2[\cup [/mm] [3,4]
und
[mm] Y:=]1,2[\cup [/mm] [5,6].
Die Mengen sind beschränkt, haben ein Maximum, und der Schnitt hat kein Maximum.
LG Angela
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Huch. Ich verstehe deine Antwort garnicht.
Es scheitert an der Symbolik.
Was meinst du mit "]a,b[" ? Soll das das Intervall sein, dass alle Zahlen x [mm] \le [/mm] a [mm] \cup [/mm] x [mm] \ge [/mm] b darstellt sein?
Wenn dem so ist, wäre ja X:= ]1,2[ [mm] \cap [/mm] [3,4] = [3,4] oder nicht?
Und Y:= ]1,2[ [mm] \cap [/mm] [5,6] = [5,6]??
Dann wäre aber X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset [/mm] , was es ja laut Aufgabenstellung nicht sein darf.
/Edit: Gerade ist mir aufgefallen: Meinst du mit ]a,b[ das offene Intervall, also (a,b) ? Wenn ja dann müsste man noch das Geschnitten drehen zu vereinigt. Also:
X:= (1,2) [mm] \cup [/mm] [3,4]
Y:= (1,2) [mm] \cup [/mm] [5,6]
Dann wäre X [mm] \cap [/mm] Y = (1,2) , sup(X [mm] \cap [/mm] Y)=2 und max{X [mm] \cap [/mm] Y} [mm] \not= [/mm] 2
Hey Prima, danke. So funktionierts.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Huch. Ich verstehe deine Antwort garnicht.
> Es scheitert an der Symbolik.
>
> Was meinst du mit "]a,b[" ? Soll das das Intervall sein,
es ist
[mm] $]a,b[:=(a,b):=\{r \in \IR: a < r < b\}\,.$
[/mm]
> dass alle Zahlen x [mm]\le[/mm] a [mm]\cup[/mm] x [mm]\ge[/mm] b darstellt sein?
Für, und meist schreibt man obiges auch nur dafür hin, den Fall $a < [mm] b\,$ [/mm] wäre
es doch sehr unsinnig, sich die leere Menge [mm] $\varnothing$ [/mm] anders hinzuschreiben...
Es sind alle Zahlen, die [mm] $>a\,$ [/mm] und auch [mm] $
> Wenn dem so ist, wäre ja X:= ]1,2[ [mm]\cap[/mm] [3,4] = [3,4]
> oder nicht?
Ne, hier wäre [mm] $X=\varnothing.$ [/mm] Angela meinte sicher [mm] $\cup$ [/mm] statt [mm] $\cap\,.$
[/mm]
Also:
[mm] $X:=\;\;]1,2[ \;\;\cup\;\; [/mm] [3,4]$
(Nebenbei: [mm] $[a,b]=\{r \in \IR:\;\; a\le r \le b\}\,.$ [/mm] Lies einfach mal
![[]](/images/popup.gif) Bemerkung und Definition 3.22.)
[mm] $Y:=\;\;]1,2[\;\; \cup\;\; [5,6]\,.$
[/mm]
Du kannst übrigens auch
$X:=[1,2[ [mm] \;\;\cup\;\; [4,5;\; [/mm] 5]$
und
$Y:=]1,2] [mm] \;\;\cup\;\; [/mm] ]6,7[$
hernehmen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Fr 22.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Huch. Ich verstehe deine Antwort garnicht.
> Es scheitert an der Symbolik.
>
> Was meinst du mit "]a,b[" ? Soll das das Intervall sein,
> dass alle Zahlen x [mm]\le[/mm] a [mm]\cup[/mm] x [mm]\ge[/mm] b darstellt sein?
> Wenn dem so ist, wäre ja X:= ]1,2[ [mm]\cap[/mm] [3,4] = [3,4]
> oder nicht?
> Und Y:= ]1,2[ [mm]\cap[/mm] [5,6] = [5,6]??
>
> Dann wäre aber X [mm]\cap[/mm] Y = [mm]\emptyset[/mm] , was es ja laut
> Aufgabenstellung nicht sein darf.
>
>
> /Edit: Gerade ist mir aufgefallen: Meinst du mit ]a,b[ das
> offene Intervall, also (a,b) ? Wenn ja dann müsste man
> noch das Geschnitten drehen zu vereinigt. Also:
> X:= (1,2) [mm]\cup[/mm] [3,4]
> Y:= (1,2) [mm]\cup[/mm] [5,6]
> Dann wäre X [mm]\cap[/mm] Y = (1,2) , sup(X [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y)=2 und max{X
> [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y} [mm]\not=[/mm] 2
das letzte solltest Du so nicht schreiben, sondern
[mm] $\max(X \cap [/mm] Y)$ existiert nicht
kannst Du aussagen!
Gruß,
Marcel
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