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| Aufgabe | Die (reelle) Zahlenfolge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergiere gegen den Grenzwert a.
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1. [mm] \alpha_{n} [/mm] = inf [mm] a_{k} [/mm] und [mm] \beta_{n} [/mm] = sup [mm] a_{k} [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] n existieren für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
2. [mm] (\alpha_{n}) [/mm] ist eine monoton wachsende und [mm] (\beta_{n}) [/mm] eine monoton fallende Zahlenfolge.
3. beide Folgen [mm] \alpha_{n} [/mm] und [mm] \beta_{n} [/mm] konvergieren gegen den Grenzwert a. |
1. habe ich mithilfe der Vorlesung bewiesen, denn jede konvergente Folge ist beschränkt, also ist die Menge [mm] {a_{1}, ..., a_{n}} [/mm] eine beschränkte Menge. Folglich besitzt sie laut Definition ein Infimum und ein Supremum. Reicht diese Ausführung?
2. Leider bin ich mir hier nicht sicher, denn meine Vorstellung ist, dass wenn ich bspw. die Menge der Infima habe, und das Infimum von [mm] a_{1} [/mm] sozusagen wegnehme, dann fängt die Zahlenfolge ja mit dem Infimum von [mm] a_{2} [/mm] an usw. Daher ist die Folge wachsend.
3. ähh?
Ich freue mich über jegliche Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Do 15.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pflaume007,
> 1. habe ich mithilfe der Vorlesung bewiesen, denn jede
> konvergente Folge ist beschränkt, also ist die Menge
> [mm]{a_{1}, ..., a_{n}}[/mm] eine beschränkte Menge.
Die Menge [mm] $\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\ldots\}$ [/mm] meinst du wohl.
Außerdem ist sie nicht leer.
> Folglich
> besitzt sie [mm] $\red{(}$laut Definition$\red{)}$ [/mm] ein Infimum und ein Supremum.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schön!
> Reicht diese Ausführung?
Mir ja.
> 2. Leider bin ich mir hier nicht sicher, denn meine
> Vorstellung ist, dass wenn ich bspw. die Menge der Infima
> habe, und das Infimum von [mm]a_{1}[/mm] sozusagen wegnehme, dann
> fängt die Zahlenfolge ja mit dem Infimum von [mm]a_{2}[/mm] an usw.
> Daher ist die Folge wachsend.
Arbeite mit der Definition von monoton wachsend.
Du wirst hier benutzen, dass für nichtleere beschränkte Mengen [mm] $A,B\subseteq\IR$ [/mm] mit [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt: [mm] $\inf A\ge\inf [/mm] B$. Dieser Sachverhalt lässt sich so begründen: Als untere Schranke von B ist [mm] $\inf [/mm] B$ wegen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ insbesondere untere Schranke von A. Somit ist [mm] $\inf [/mm] B$ kleiner gleich der größten unteren Schranke von A, also [mm] $\le\inf [/mm] A$.
> 3. ähh?
Arbeite direkt mit den Definitionen von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent gegen a und [mm] $(\alpha_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent gegen a:
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|\alpha_n-a|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Da [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent gegen a ist, existiert ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a|<\bruch{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Zeige, dass dieses $N$ das Gewünschte leistet, also für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt: [mm] $|\alpha_n-a|<\varepsilon$. [/mm] Dazu könnte eine Fallunterscheidung nach [mm] $\alpha_n-a\ge [/mm] 0$ und [mm] $\alpha_n-a<0$ [/mm] hilfreich sein.
Viele Grüße
Tobias
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