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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:06 Mo 27.11.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Im folgenden seien A,B [mm] \subset \IR [/mm] nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen von [mm] \IR. [/mm] Man zeige folgende Aussagen:
a) Sei s [mm] \in \IR. [/mm] Dann gilt: s=supA [mm] \gdw [/mm] s ist obere Schranke von A, und es gibt eine Folge [mm] (a_n)_n \subset [/mm] A mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] =s.
b) Es gilt
sup(A [mm] \cup [/mm] B) = max {supA, supB}
und falls A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
sup(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \le [/mm] min{supA, supB}.
Ferner gebe man ein Beispiel für Mengen A und B an, so dass in der vorhergehenden Ungleichung "<" gilt. |
Hallo!
Ich komme nicht so recht weiter.
Zu a) weiß ich, dass ich zeigen muss, dass s obere und sogar kleinste obere Schranke ist. Das ist kein Problem. Aber mit der Folge kann ich nichts anfangen. Nach dem Sandwichsatz konvergiert eine "eingeschachtelte" Folge gegen den gleichen Grenzwert wie die beiden umgebenden Folgen. Aber das ist doch hier etwas ganz anderes, oder?
Was kann ich mir unter [mm] a_n)_n \subset [/mm] A überhaupt vorstellen?
Zu b) kann man hier mit Elementen argumentieren, die in den Mengen A und/oder B liegen und gleichzeitig Supremum sind?
Wie finde ich ein Beispiel für "<"?
Vielen Dank für eure Hilfe!
xsara
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Im folgenden seien A,B $ [mm] \subset \IR [/mm] $ nichtleere, nach oben beschränkte Teilmengen von $ [mm] \IR. [/mm] $ Man zeige folgende Aussagen:
a) Sei s $ [mm] \in \IR. [/mm] $ Dann gilt: s=supA $ [mm] \gdw [/mm] $ s ist obere Schranke von A, und es gibt eine Folge $ [mm] (a_n)_n \subset [/mm] $ A mit $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] $ =s.
Hallo,
zunächst einmal ist festzustellen, daß Du für a. zwei Richtungen zeigen mußt.
1.s=supA ==> (s ist obere Schranke und) es gibt eine Folge [mm] (a_n) \subseteq [/mm] , welche gegen gegen s konvergiert.
2. s ist obere Schranke und es gibt eine Folge [mm] (a_n) \subseteq [/mm] , welche gegen gegen s konvergiert ==> s=sup A
> Was kann ich mir unter [mm](a_n)_n \subset[/mm] A überhaupt
> vorstellen?
Damit ist gemeint, daß die Folgenglieder [mm] a_n [/mm] sämtlich in A liegen.
zu 1. das s kleinste obere Schranke ist, ist vorausgesetzt.
Nun gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder s [mm] \in [/mm] A. Dann hat man sehr leicht eine Folge, die gegen s konvergiert, nämlich???
Sei s nicht in A.
Es gilt nun, eine Folge zu bauen, die gegen s konvergiert.
Dein Sandwich klappt hier zwar nicht, aber es kann einen auf Ideen bringen.
s ist obere Schranke und nicht in A.
Also gibt es ein [mm] a_0 [/mm] in A mit [mm] a_0
[mm] a_0 [/mm] ist nicht obere Schranke, denn ???
Also findet man ein [mm] a_1 \in [/mm] A mit [mm] a_0
Diesen Prozeß fortsetzend findet man eine monoton wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist. Also ist die Folge ???.
Nun müssen wir noch zeigen, daß sie gegen s konvergiert.
Angenommen nicht, dann gäbe es ??? ...
zu2. Nimm an, daß s nicht die kleinste obere Schranke ist, es also eine obere Schranke s' gibt mit s'<s.
Nun ist ja eine gegen s konvergierende Folge vorausgesetzt. D.h. die Folgenglieder kommen s beliebig nahe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:18 Mi 29.11.2006 | | Autor: | xsara |
Hallo Angela!
Vielen Dank für die Hilfe.
Leider verstehe ich es wohl doch noch nicht richtig.
Zu a) sind beide Richtungen zu zeigen, dass ist klar.
Auch ist mir klar, dass eine Fallunterscheidung in s [mm] \in [/mm] A und [mm] s\not\in [/mm] A sinnvoll ist.
Für den ersten Fall wäre die einfachste Folge doch die konstante Folge s, oder?
Aber für den zweiten Fall ist mir nicht klar, warum [mm] a_0 [/mm] keine obere Schranke sein kann. Im ersten Fall liegt doch s auch in A. Oder beruft man sich hier auf die Eigenschaft von [mm] \IQ, [/mm] dass zwischen zwei rationalen Zahlen immer noch ein weiter zu finden ist? Das löst mein Problem aber nicht, warum [mm] a_0 [/mm] keine obere Schranke sein kann.
Weiter verstehe ich nicht, warum man annimmt, dass die konstruierte Folge nicht gegen s konvergiert. Dann gäbe es für die Folge einen Grenzwert a mit a=supA. Damit habe ich doch nur gezeigt, dass ich eine Folge konstruiert habe, die nicht gegen so sondern gegen a konvergiert und nicht, dass s=supA.
LG
xsara
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Moin!
> Zu a) sind beide Richtungen zu zeigen, dass ist klar.
> Auch ist mir klar, dass eine Fallunterscheidung in s [mm]\in[/mm] A
> und [mm]s\not\in[/mm] A sinnvoll ist.
> Für den ersten Fall wäre die einfachste Folge doch die
> konstante Folge s, oder?
Genau.
> Aber für den zweiten Fall ist mir nicht klar, warum [mm]a_0[/mm]
> keine obere Schranke sein kann.
Na, wenn [mm] a_0 [/mm] oberer Schranke wäre, könnte doch nicht s das Supremum sein, was ja vorausgesetzt war.
>Im ersten Fall liegt doch
> s auch in A. Oder beruft man sich hier auf die Eigenschaft
> von [mm]\IQ,[/mm] dass zwischen zwei rationalen Zahlen immer noch
> ein weiter zu finden ist? Das löst mein Problem aber nicht,
> warum [mm]a_0[/mm] keine obere Schranke sein kann.
In Fall 2. ist unsere Voraussetzung s ist Sup und s [mm] \not\in [/mm] A., daran ist nichts zu drehen, das bewegt sich nicht, das müssen wir als gegeben hinnehmen. DESHALB ist [mm] a_0 [/mm] keine obere Schranke. Wir haben ja schon eine KLEINSTE obere Schranke s
>
> Weiter verstehe ich nicht, warum man annimmt, dass die
> konstruierte Folge nicht gegen s konvergiert.
Um einen Widerspruch zu konstruieren.
Man will ja gerade zeigen, daß sie gegen s konvergiert.
Um das zu tun, nimmt man an, daß sie nicht gegen s konvergiert, und zeigt, daß diese Annahme absurd ist.
>Dann gäbe es
> für die Folge einen Grenzwert a mit a=supA. Damit habe ich
> doch nur gezeigt, dass ich eine Folge konstruiert habe, die
> nicht gegen so sondern gegen a konvergiert
Genau. Du hast dann eine MONOTON WACHSENDE Folge konstruiert, die gegen a konvergiert. Wenn a [mm] \not= [/mm] s, so ist a<s. (Warum eigentlich?)
Aufgrund der Machart der Folge ergibt sich: zwischen a und s gibt es keine Elemente aus A mehr.
Also ist a<s obere Schranke. Widerspruch zu s=SupA,
Somit muß die konstruierte Folge gegen s konvergieren.
(Ich finde es nützlich, mit Bildchen am Zahlenstrahl zu arbeiten.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 02.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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