Supremum, Maximum, Minimum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A:= [mm] (\bruch{|x|}{1+|x|}) [/mm] x [mm] \el [/mm] der reellen Zahlen
B:= [mm] (\bruch{x}{1+x}) [/mm] x [mm] \el [/mm] der reellen Zahlen, x>-1.
Bestimmen Sie sup (A), max (A), inf (A), min (A), sup (B) und inf (B). |
Beh: sup (A) = 1, max (A) ex. nicht, inf(A)=min(A) = 0, sup (B)= 1 und inf (B) ex. nicht.
Bew. Wegen |x| >0 und 1+|x| >0 bzw. 1+|x|>1 ist 0<A<1 -> 0 ist untere Schranke, 1 ist obere Schranke.
Falls d>0, dann ist d keine untere Schranke zu M.
Gesucht ist ein x mit A>d (d>1).
A>d genau dann, wenn |x|>d (1+ |x|) genau dann, wenn |x|>d+d |x| genau dann, wenn |x|- |dx| >d. Genau dann, wenn |x|(1-d)>d <-> |x| [mm] >\bruch{d}{1-d}.
[/mm]
Wegen d<1 ist 1-d>0.
Sei nun |x| aus den reellen Zahlen mit [mm] |x|>\bruch{d}{1-d} [/mm] -> |x|(1-d) >d -> d ist keine obere Schranke.
-> inf(M) = 0, sup (M)=1, da 0 [mm] \el [/mm] A ist min(A)=0 und da 1 nicht in A ex. kein Maximum.
Kann sich jemand bitte meinen Beweis ansehen und mir sagen, ob ich richtig bin?
Danke für Hinweise,
LG:-9
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Kann leider den Fälligkeitszeitraum nicht abändern!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:29 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann leider den Fälligkeitszeitraum nicht abändern!
Ich kann ihn dir wohl aendern, allerdings wird das vermutlich nicht viel aendern. Versuche doch mal mit Hilfe der Edit-Funktion die Frage lesbar und korrekter aufzuschreiben; das motiviert potentielle Antworter auch eher zu einer Antwort.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:42 Di 17.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
> A:= [mm](\bruch{|x|}{1+|x|})[/mm] x [mm]\el[/mm] der reellen Zahlen
>
> B:= [mm](\bruch{x}{1+x})[/mm] x [mm]\el[/mm] der reellen Zahlen, x>-1.
Ich hoffe, dass Du
[mm] $A:=\frac{|x|}{1+|x|}$
[/mm]
[mm] $B:=\frac{x}{1+x}$
[/mm]
mit [mm] $x\in\IR$ [/mm] meinst.
> Bestimmen Sie sup (A), max (A), inf (A), min (A), sup (B)
> und inf (B).
zu A:
> Beh: sup (A) = 1, max (A) ex. nicht, inf(A)=min(A) = 0,
Deine Behauptung stimmt. Es bleibt also nur noch die Behauptung zu zeigen.
> Bew. Wegen |x| >0 und 1+|x| >0 bzw. 1+|x|>1 ist 0<A<1 -> 0
> ist untere Schranke, 1 ist obere Schranke.
Genau! Etwas anders:
Supremum von $A$: Betrachte [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit $|x|>0$ (denn für $|x|=0$ ist $A=0$), dann gilt
[mm] $\frac{|x|}{1+|x|}=\frac{1}{\frac{1}{|x|}+1}<1$
[/mm]
Damit haben wir die (größt mögliche) obere Schranke (also das Supremum) $1$ gefunden.
Maximum von $A$: Es gibt allerings kein [mm] $x\in\IR$, [/mm] so dass [mm] $\frac{|x|}{1+|x|}=1$ [/mm] erfüllt ist. Damit wird das Supremum nicht angenommen, weswegen kein Maximum von $A$ existiert.
Infimum von $A$: Betrachte [mm] $|x|\geqslant [/mm] 0$, dann ist [mm] $1+|x|\geqslant [/mm] 1>0$ und damit [mm] $\frac{1}{1+|x|}>0$. [/mm] Daraus und aus [mm] $|x|\geqslant [/mm] 0$ erhalten wir
[mm] $\frac{|x|}{1+|x|}=\underbrace{|x|}_{\geqslant 0}\cdot\underbrace{\frac{1}{1+|x|}}_{>0}\geqslant [/mm] 0$
Damit haben wir die (kleinst mögliche) untere Schranke (also das Infimum) $0$ gefunden.
Minimum von $A$: Für $x=0$ haben wir
[mm] $\frac{|0|}{1+|0|}=0$
[/mm]
womit das Infimum angenommen wird. Daher ist $0$ ein Minimum von $A$.
zu B:
> Beh. sup (B)= 1 und inf (B) ex. nicht.
Auch hier stimmt Deine Behauptung. Der Beweis erfolgt ähnlich zu dem, den ich Dir vorgerechnet habe.
> Falls d>0, dann ist d keine untere Schranke zu M.
> Gesucht ist ein x mit A>d (d>1).
> A>d genau dann, wenn |x|>d (1+ |x|) genau dann, wenn
> |x|>d+d |x| genau dann, wenn |x|- |dx| >d. Genau dann,
> wenn |x|(1-d)>d <-> |x| [mm]>\bruch{d}{1-d}.[/mm]
> Wegen d<1 ist 1-d>0.
> Sei nun |x| aus den reellen Zahlen mit
> [mm]|x|>\bruch{d}{1-d}[/mm] -> |x|(1-d) >d -> d ist keine obere
> Schranke.
> -> inf(M) = 0, sup (M)=1, da 0 [mm]\el[/mm] A ist min(A)=0 und da 1
> nicht in A ex. kein Maximum.
Bitte verzeih mir, wenn ich mir dies nicht ansehe. Aber Du solltest den Text besser zusammen schreiben, ansonsten vergolde ich mindestens doppelt so viel Zeit damit, den Text zu verstehen und zu entschlüsseln.
> Kann sich jemand bitte meinen Beweis ansehen und mir sagen,
> ob ich richtig bin?
>
> Danke für Hinweise,
>
> LG:-9
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