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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Di 07.09.2010 | | Autor: | AndiK |
| Aufgabe | Man bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge:
M = [mm] \{\bruch{x}{x+1} : x > -1\} [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme damit, diese Aufgabe zu lösen.
Nehmen wir mal das Supremum:
Angenommen, sup(M) = 1.
Dann muss ich zeigen:
(i) M ist nach oben beschränkt durch 1 und
(ii) Es gibt keine kleinere obere Schranke von M als 1
zu (i) 1 = [mm] \bruch{x+1}{x+1} [/mm] > [mm] \bruch{x}{x+1}, [/mm] x [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
zu (ii) Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gibt eine kleinere obere Schranke von M als 1. Nennen wir sie [mm] \gamma. [/mm]
Dann gilt: [mm] \bruch{x}{x+1}<\gamma [/mm] < 1, x > -1
Wir definieren: [mm] \varepsilon [/mm] = 1 - [mm] \gamma, [/mm] wobei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Mithilfe von [mm] \varepsilon [/mm] sollte ich jetzt ja zeigen können, dass [mm] \gamma [/mm] keine obere Schranke von [mm] \bruch{x}{x+1} [/mm] ist. Allerdings habe ich das nach geschätzten 3 Stunden noch immer nicht geschafft.
Genau das Gleiche bei Infimum.
Ich nehme an, dass Infimum von M nicht existiert und versuche das durch einen Widerspruch zu beweisen. D.h. ich nehme einfach an, dass inf(M) existiert und naja, komme ganauso weit wie beim Supremum...
Hat jemand einen Rat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 07.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Man bestimme Supremum und Infimum der folgenden Menge:
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> M = [mm]\{\bruch{x}{x+1} : x > -1\}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe Probleme damit, diese Aufgabe zu lösen.
>
> Nehmen wir mal das Supremum:
> Angenommen, sup(M) = 1.
> Dann muss ich zeigen:
>
> (i) M ist nach oben beschränkt durch 1 und
> (ii) Es gibt keine kleinere obere Schranke von M als 1
>
> zu (i) 1 = [mm]\bruch{x+1}{x+1}[/mm] > [mm]\bruch{x}{x+1},[/mm] x [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
>
> zu (ii) Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gibt eine
> kleinere obere Schranke von M als 1. Nennen wir sie [mm]\gamma.[/mm]
> Dann gilt: [mm]\bruch{x}{x+1}<\gamma[/mm] < 1, x > -1
> Wir definieren: [mm]\varepsilon[/mm] = 1 - [mm]\gamma,[/mm] wobei
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0.
>
> Mithilfe von [mm]\varepsilon[/mm] sollte ich jetzt ja zeigen
> können, dass [mm]\gamma[/mm] keine obere Schranke von
> [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm] ist. Allerdings habe ich das nach
> geschätzten 3 Stunden noch immer nicht geschafft.
>
> Genau das Gleiche bei Infimum.
> Ich nehme an, dass Infimum von M nicht existiert und
> versuche das durch einen Widerspruch zu beweisen. D.h. ich
> nehme einfach an, dass inf(M) existiert und naja, komme
> ganauso weit wie beim Supremum...
>
> Hat jemand einen Rat?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
vielleicht hilt es dir, dass [mm] \bruch{x}{x+1}=\bruch{(x+1)-1}{x+1}=1-\bruch{1}{x+1} [/mm] ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Mi 08.09.2010 | | Autor: | AndiK |
Hallo nochmal und danke für die Antwort.
Ich bin zu einer Lösung gekommen, weiß aber nicht, ob sie richtig ist:
Hier nur mal die letzten Schritte für das Supremum:
Es gilt:
sup(1) - [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < 1 und [mm] sup(-\bruch{1}{1+x}) [/mm] - [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] -\bruch{1}{1+x}
[/mm]
=> sup(1) + [mm] sup(-\bruch{1}{1+x}) -\varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
<=> sup(1) - [mm] inf(\bruch{1}{1+x}) -\varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
<=> 1 - 0 - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
Was Infimum angeht:
Annahme: Es gibt keine untere Schranke von M.
Beweis durch Widerspruch.
Also nehmen wir an, M ist nach unten beschränkt. Dann existiert auch inf(M) und es gilt weiter:
inf(1) [mm] \le [/mm] 1 und [mm] inf(-\bruch{1}{1+x}) \le -\bruch{1}{1+x}
[/mm]
=> inf(1) + [mm] inf(-\bruch{1}{1+x}) \le \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
<=> inf(1) - [mm] sup(\bruch{1}{1+x}) \le \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
<=> 1 - 1 [mm] \le \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
<=> 0 [mm] \le \bruch{x}{ 1+x}
[/mm]
Für x = -0,5 ist dies nicht mehr der Fall.
Aber irgendwie habe ich nicht das Gefühl, dass das richtig ist, was ich hier mache.
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Huhu,
ich glaube du gehst da zu kompliziert ran. Und nicht immer sind indirekte Beweise besser als direkte.
Zum Supremum: Du willst ja zeigen, dass 1 Supremum ist, d.h. für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0 $ existiert ein [mm] x_\varepsilon [/mm] so dass
[mm] $\bruch{x_\varepsilon}{x_\varepsilon+1} [/mm] > [mm] 1-\varepsilon$
[/mm]
Nach [mm] x_\varepsilon [/mm] Umstellen und begründen, warum das gefundene [mm] x_\varepsilon [/mm] in deiner Menge liegt (d.h. in diesem Fall $> -1$ ist). Das [mm] x_\varepsilon [/mm] was rauskommt, ist übrigens sehr schön 
Zum Infimum:
Betrachte doch einfach mal [mm] $\limes_{x\rightarrow -1}\bruch{x}{x+1}$. [/mm] Was bedeutet das fürs Infimum?
MFG,
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:48 Do 09.09.2010 | | Autor: | AndiK |
Hallo!
Für Supremum habe ich rausbekommen:
[mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] - 1 < [mm] x_{\varepsilon}
[/mm]
Für [mm] \varepsilon \to \infty [/mm] ist [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] = 0. Also gilt dann: 0 - 1 = -1 < [mm] x_{\varepsilon} [/mm] für [mm] \varepsilon \to \infty
[/mm]
Für [mm] \varepsilon \to [/mm] 0 ist [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Also gilt dann [mm] \infty [/mm] - 1 = [mm] \infty [/mm] < [mm] x_{\varepsilon} [/mm] (so kann man das nicht schreiben, oder?)
Also ist für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0: [mm] 1-\varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{x}{x+1}, [/mm] x > -1 <=> 1 = [mm] sup(\bruch{x}{x+1}), [/mm] x>-1
Und was Inf angeht, lim darf ich an der Stelle ja noch gar nicht benutzen. War mein vorheriger Lösungsvorschlag denn falsch oder könnte man das durchaus so machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:58 Do 09.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur nebenbei: Es gibt eine wunderschöne Charakterisierung des Supremums einer Menge (in [mm] $\IR$):
[/mm]
Sei [mm] $M\,$ [/mm] eine nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR\,.$ [/mm] Genau dann ist [mm] $S=\text{sup}M\,,$ [/mm] wenn [mm] $S\,$ [/mm] obere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist, und wenn es eine Folge [mm] $(m_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] gibt (d.h. [mm] $m_n \in [/mm] M$ für jedes [mm] $n\,$), [/mm] die gegen [mm] $S\,$ [/mm] konvergiert (d.h. [mm] $m_n \to [/mm] S$ bei $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Dieser Satz ist leicht (mit der Dir gegebenen Definition) zu beweisen, und würde Dir bei der Lösung Deiner Aufgabe hilfreich zur Seite stehen. Vor allem aber, wenn Du den Umgang mit Folgen gewohnt bist, wirst Du ihn mehr zu schätzen wissen. (Solche Aussagen findet man übrigens, denke ich, mal wieder irgendwo im Heuser...)
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 11.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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