Supremum der rationalen Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Di 25.10.2011 | | Autor: | felixt |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die Menge [mm] $A:=\{p \in \IQ:p^2<2\} \subset \IQ$ [/mm] als Teilmenge des Körpers [mm] $\IQ$ [/mm] kein Supremum hat (was zeigt, dass [mm] $\IQ$ [/mm] im Gegensatz zu [mm] $\IR$ [/mm] nicht die Supremumseigenschaft besitzt). Gehen Sie dazu wie folgt vor:
[mm] \tab [/mm] 1. Zeigen Sie, dass jedes $q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $q > 0$ und [mm] $q^2 [/mm] > 2$ eine obere Schranke von A ist.
[mm] \tab [/mm] 2. Zeigen Sie, dass es zu jeder Zahl $q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $q > 0$ und [mm] $q^2>2$ [/mm] eine Zahl [mm] $\tilde [/mm] q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $ 0 < [mm] \tilde [/mm] q < q $ und [mm] $\tilde q^2 [/mm] > 2$ gibt.
[mm] \tab [/mm] 3. Begründen Sie, warum aus 1. und 2. die Behauptung folgt.
Hinweis: Da in dieser Aufgabe der Körper [mm] $\IQ$ [/mm] betrachtet wird, können in den Beweisen keine irrationalen Zahlen vorkommen. |
Hallo,
könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Leider weiß ich trotz Anleitung nicht wie ich dabei vorgehen soll. Wie zeigt man 1. und 2.?
Danke!
gruß
felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 25.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie, dass die Menge [mm]A:=\{p \in \IQ:p^2<2\} \subset \IQ[/mm]
> als Teilmenge des Körpers [mm]\IQ[/mm] kein Supremum hat (was
> zeigt, dass [mm]\IQ[/mm] im Gegensatz zu [mm]\IR[/mm] nicht die
> Supremumseigenschaft besitzt). Gehen Sie dazu wie folgt
> vor:
> [mm]\tab[/mm] 1. Zeigen Sie, dass jedes [mm]q \in \IQ[/mm] mit [mm]q > 0[/mm] und
> [mm]q^2 > 2[/mm] eine obere Schranke von A ist.
> [mm]\tab[/mm] 2. Zeigen Sie, dass es zu jeder Zahl [mm]q \in \IQ[/mm] mit
> [mm]q > 0[/mm] und [mm]q^2>2[/mm] eine Zahl [mm]\tilde q \in \IQ[/mm] mit [mm]0 < \tilde q < q[/mm]
> und [mm]\tilde q^2 > 2[/mm] gibt.
> [mm]\tab[/mm] 3. Begründen Sie, warum aus 1. und 2. die
> Behauptung folgt.
> Hinweis: Da in dieser Aufgabe der Körper [mm]\IQ[/mm] betrachtet
> wird, können in den Beweisen keine irrationalen Zahlen
> vorkommen.
> Hallo,
>
> könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen?
> Leider weiß ich trotz Anleitung nicht wie ich dabei
> vorgehen soll. Wie zeigt man 1. und 2.?
Hallo,
welche Schlussfolgerung kann man aus
[mm] q^2> [/mm] 2 UND [mm] 2>p^2 [/mm] ziehen? (Transitivität der ">"-Relation!)
Gruß Abakus
>
> Danke!
>
> gruß
> felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 26.10.2011 | | Autor: | felixt |
> Hallo,
> welche Schlussfolgerung kann man aus
> [mm]q^2>[/mm] 2 UND [mm]2>p^2[/mm] ziehen? (Transitivität der
> ">"-Relation!)
> Gruß Abakus
> >
> > Danke!
> >
> > gruß
> > felix
>
Dass $p$ und $q$ in der Relation sind und [mm] $p^2
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Hallo,
> > welche Schlussfolgerung kann man aus
> > [mm]q^2>[/mm] 2 UND [mm]2>p^2[/mm] ziehen? (Transitivität der
> > ">"-Relation!)
>
> Dass [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] in der Relation sind und [mm]p^2
Jaaaa, und weiter?
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:01 Mi 26.10.2011 | | Autor: | felixt |
Ich habe folgendes in meinen Unterlagen gefunden:
Wenn $A:={p [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] p^2 [/mm] < 2}$ ist, dann
(i) $x [mm] \le [/mm] q [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A$
(ii) [mm] $\forall [/mm] p < q : [mm] \exists x_0 \in [/mm] A: [mm] x_0 [/mm] > p$
Was ja eigentlich 1. beweisen müsste?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Fr 28.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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