Supremum und Infimum < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie (sofern existent) Supremum und Infimum in [mm] \IR [/mm] folgender Teilmengen der reellen Zahlen:
(a) $ [mm] M_{1}= [/mm] { [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } $
(b) $ [mm] M_{2}= [/mm] { [mm] \wurzel{x} [/mm] | x [mm] \in \IQ^{+} [/mm] }$
(c) $ [mm] M_{3}= [/mm] { [mm] \IQ^{-} [/mm] }$ |
nun erst einmal ist meine frage, wenn ich die kleinste obere schranke(supremum) finden soll muss ich dann das größte element aus der menge nehmen oder das erste also kleinste das nicht mehr im zahlenbereich liegt, bei M3 beispielsweise -1 oder 0,
nach meinen erkenntnissen müsste ich also so vorgehen:
(a) ist nach unten und nach oben beschränkt,
die kleinste obere schranke ist 2, da nicht mehr im zahlenbereich und
die größte untere schranke ist 0.
(b) da würde ich sagen x = p/q da $ x [mm] \in \IQ^{+} [/mm] $ !
so hier gibt es eine größte untere schranke nämlich 0 da
x niemals 0 wird wegen $ [mm] \IQ^{+} [/mm] $.
(c) würde ich sagen es gibt ein supremum nämlich die 0 denn
wir können alle negativen zahlen bis -unendlich darstellen(theoretisch)
und $ [mm] \IQ^{-} [/mm] $ .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mi 29.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ermitteln Sie (sofern existent) Supremum und Infimum in [mm]\IR[/mm]
> folgender Teilmengen der reellen Zahlen:
>
> (a) [mm]M_{1}= { \bruch{1}{n} | n \in \IN }[/mm]
> (b) [mm]M_{2}= { \wurzel{x} | x \in \IQ^{+} }[/mm]
>
> (c) [mm]M_{3}= { \IQ^{-} }[/mm]
> nun erst einmal ist meine frage,
> wenn ich die kleinste obere schranke(supremum) finden soll
> muss ich dann das größte element aus der menge nehmen oder
> das erste also kleinste das nicht mehr im zahlenbereich
> liegt, bei M3 beispielsweise -1 oder 0,
So ist die Frage falsch gestellt: bei 1/n z.Bsp sind alle Elemente [mm] 1/n\le1 [/mm] also ist 1 das sup, aber alle elemente 1/n>0 aber es gibt keine Zahl r>0 fuer die gilt fuer alle n1/n>r, deshalb ist 0 inf, aber gehoert nicht zu der Menge.
D.h. die Definition heisst kleinst obere bzw groesste untere Schranke und Schranken sind mit [mm] \ge [/mm] bzw. [mm] \le [/mm] definiert.
>
> nach meinen erkenntnissen müsste ich also so vorgehen:
> (a) ist nach unten und nach oben beschränkt,
> die kleinste obere schranke ist 2, da nicht mehr im
> zahlenbereich und
> die größte untere schranke ist 0.
2 falsch, siehe oben.
>
> (b) da würde ich sagen x = p/q da [mm]x \in \IQ^{+}[/mm] !
> so hier gibt es eine größte untere schranke nämlich 0
> da
> x niemals 0 wird wegen [mm]\IQ^{+} [/mm].
auch wenn x=0 dazugehoert ist 0 groesste unter schranke!
> (c) würde ich sagen es gibt ein supremum nämlich die 0
> denn
> wir können alle negativen zahlen bis -unendlich
> darstellen(theoretisch)
> und [mm]\IQ^{-}[/mm] .
siehe b) aber richtig.
manche Leute definieren auch [mm] inf+-\infty [/mm] oder inf existiert nicht, da musst du dich an eure Sprechweise halten, aber es dazu schreiben, auch bei b
Gruss leduart
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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