Supremum und Infimum bestimmen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 19.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Supremum und In mum der folgenden Menge:
M= [mm] \left\{\bruch{n}{2n+1} : n\in \IN \right\} [/mm] |
Hi,
also hab mir folgendes überlegt:
1 ist das kleinste Element in [mm] \IN. [/mm] Setzt man n=1 kommt [mm] \bruch{1}{2*1+1}=\bruch{1}{3} [/mm] raus.
Für [mm] n\to \infty: \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2n+1}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Deshalb nehme ich nun an:
inf(M)=1/3 und sup(M)=1/2
zuerst zum Infimum:
sei m [mm] \in [/mm] M: [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] m=\bruch{n}{2n+1}
[/mm]
Da [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] n\ge1 \Rightarrow m=\bruch{n}{2n+1} \ge \bruch{1}{2*1+1}=\bruch{1}{3} [/mm] oder kurz m [mm] \ge \bruch{1}{3}
[/mm]
1/3 ist aber in M für n=1
Daraus folgt also:
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M isr m [mm] \ge \bruch{1}{3} \Rightarrow inf(M)=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] da [mm] \bruch{1}{3} [/mm] für n=1 [mm] \in [/mm] M liegt ist [mm] inf(M)=min(M)=\bruch{1}{3}
[/mm]
Beim Supremum sei nun die Annahme: [mm] sup(m)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \forall n\in \IN:\bruch{n}{2n+1}<1/2 \Rightarrow sup(M)\le\bruch{1}{2}
[/mm]
Sei nun die Annahme [mm] sup(M)<\bruch{1}{2}
[/mm]
Sei S:=sup(M) mit [mm] S<\bruch{1}{2}
[/mm]
Weiter bin ich bisher nicht gekommen, da ich irgendwie nicht weiß, wie ich jetzt zeige, dass [mm] S<\bruch{1}{2} [/mm] nicht gilt und damit aus [mm] sup(M)\le\bruch{1}{2} \Rightarrow sup(M)=\bruch{1}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 So 19.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie Supremum und In mum der folgenden Menge:
> M= [mm]\left\{\bruch{n}{2n+1} : n\in \IN \right\}[/mm]
> Hi,
>
> also hab mir folgendes überlegt:
> 1 ist das kleinste Element in [mm]\IN.[/mm] Setzt man n=1 kommt
> [mm]\bruch{1}{2*1+1}=\bruch{1}{3}[/mm] raus.
Wenn du jetz noch nachweisen könntest, dass die Folge streng monoton wachsend ist, MUSS [mm] a_1 [/mm] das Minimum (und also auch das Infimum) sein.
> Für [mm]n\to \infty: \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2n+1}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Deshalb nehme ich nun an:
> inf(M)=1/3 und sup(M)=1/2
>
> zuerst zum Infimum:
> sei m [mm]\in[/mm] M: [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]m=\bruch{n}{2n+1}[/mm]
> Da [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]n\ge1 \Rightarrow m=\bruch{n}{2n+1} \ge \bruch{1}{2*1+1}[/mm]
>
Hier ist der Wunsch Vater des Gedankens. Warum gilt das?
Monotones Wachsen zeigt man einfach durch Auswertung der allgemeinen Differenz [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] .
> [mm] =\bruch{1}{3}
[/mm]
> oder kurz m [mm]\ge \bruch{1}{3}[/mm]
> 1/3 ist aber in M für n=1
> Daraus folgt also:
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M isr m [mm]\ge \bruch{1}{3} \Rightarrow inf(M)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] da [mm]\bruch{1}{3}[/mm] für n=1 [mm]\in[/mm] M liegt ist
> [mm]inf(M)=min(M)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
> Beim Supremum sei nun die Annahme: [mm]sup(m)=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\forall n\in \IN:\bruch{n}{2n+1}<1/2 \Rightarrow sup(M)\le\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Sei nun die Annahme [mm]sup(M)<\bruch{1}{2}[/mm]
> Sei S:=sup(M) mit [mm]S<\bruch{1}{2}[/mm]
Dann müsste es eine "kleine" Umgebung von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] geben, in der kein Folgenglied mehr liegt.
Gruß Abakus
>
> Weiter bin ich bisher nicht gekommen, da ich irgendwie
> nicht weiß, wie ich jetzt zeige, dass [mm]S<\bruch{1}{2}[/mm] nicht
> gilt und damit aus [mm]sup(M)\le\bruch{1}{2} \Rightarrow sup(M)=\bruch{1}{2}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 So 19.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > Bestimmen Sie Supremum und In mum der folgenden Menge:
> > M= [mm]\left\{\bruch{n}{2n+1} : n\in \IN \right\}[/mm]
> > Hi,
> >
> > also hab mir folgendes überlegt:
> > 1 ist das kleinste Element in [mm]\IN.[/mm] Setzt man n=1 kommt
> > [mm]\bruch{1}{2*1+1}=\bruch{1}{3}[/mm] raus.
> Wenn du jetz noch nachweisen könntest, dass die Folge
> streng monoton wachsend ist, MUSS [mm]a_1[/mm] das Minimum (und also
> auch das Infimum) sein.
Wir haben Suprumum und Infimum über Gruppen/Körper und die reellen Zahlen eingeführt. Von Monotonie hatten wir noch nichts in der Vorlesung.
> > Für [mm]n\to \infty: \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{2n+1}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Deshalb nehme ich nun an:
> > inf(M)=1/3 und sup(M)=1/2
> >
> > zuerst zum Infimum:
> > sei m [mm]\in[/mm] M: [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]m=\bruch{n}{2n+1}[/mm]
> > Da [mm]n\in\IN[/mm] ist [mm]n\ge1 \Rightarrow m=\bruch{n}{2n+1} \ge \bruch{1}{2*1+1}[/mm]
> >
> Hier ist der Wunsch Vater des Gedankens. Warum gilt das?
> Monotones Wachsen zeigt man einfach durch Auswertung der
> allgemeinen Differenz [mm]a_{n+1}-a_n[/mm] .
> > [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
> > oder kurz m [mm]\ge \bruch{1}{3}[/mm]
> > 1/3 ist aber in M für
> n=1
> > Daraus folgt also:
> > [mm]\Rightarrow \forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M isr m [mm]\ge \bruch{1}{3} \Rightarrow inf(M)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] da [mm]\bruch{1}{3}[/mm] für n=1 [mm]\in[/mm] M liegt ist
> > [mm]inf(M)=min(M)=\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
> >
> >
> > Beim Supremum sei nun die Annahme: [mm]sup(m)=\bruch{1}{2}[/mm]
> > [mm]\forall n\in \IN:\bruch{n}{2n+1}<1/2 \Rightarrow sup(M)\le\bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Sei nun die Annahme [mm]sup(M)<\bruch{1}{2}[/mm]
> > Sei S:=sup(M) mit [mm]S<\bruch{1}{2}[/mm]
> Dann müsste es eine "kleine" Umgebung von [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> geben, in der kein Folgenglied mehr liegt.
Also die Annahme ist, dass es eine kleinere obere Schranke als 1/2 gibt.
Diese sei nun [mm] \bruch{1}{2}-\varepsilon
[/mm]
Dann muss man [mm] \bruch{n}{2n+1} \le \bruch{1}{2}-\varepsilon
[/mm]
Ja irgendwie zum Widerspruch bringen. Nur das kriege ich irgendwie nicht hin.
Wenn ich nach [mm] \varepsilon [/mm] umstelle hab ich: [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{n}{2n+1}\ge \varepsilon.
[/mm]
Da kann ich doch egal welches n [mm] \in \IN [/mm] einsetzten, links bleibt es immer positiv.
Was mir auch nicht klar ist: Ist [mm] \varepsilon \in \IR^+ [/mm] oder [mm] \in \IN?
[/mm]
> Gruß Abakus
> >
> > Weiter bin ich bisher nicht gekommen, da ich irgendwie
> > nicht weiß, wie ich jetzt zeige, dass [mm]S<\bruch{1}{2}[/mm] nicht
> > gilt und damit aus [mm]sup(M)\le\bruch{1}{2} \Rightarrow sup(M)=\bruch{1}{2}[/mm]
> >
>
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Hallo,
mit [mm] \epsilon [/mm] bezeichnet man in der Analyis stets eine positive Zahl, die als beliebig klein angenommen werden kann. Indbesondere muss [mm] \epsilon [/mm] hierzu eine reelle Zahl sein. Dein Resultat ist doch genau das, was du haben möchtest: der gesuchte Widerspruch. Du musst es nur richtig interpretieren. Hierzu würde ich den Term, gegen den [mm] \epsilon [/mm] abgeschätzt wird, einmal zusammenfassen und dann sein Verhalten für n -> [mm] \infty [/mm] genauer untersuchen...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
für [mm] n\to\infty [/mm] geht [mm] (\bruch{1}{2}-\bruch{n}{2n+1}) [/mm] gegen 0
Dann hab ich 0 [mm] \ge \varepsilon [/mm] und das ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Alles klar, danke dir
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Hallo,
es ist
[mm] \frac{1}{2}-\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{4n+2}
[/mm]
und damit sieht das dann noch deutlich besser aus. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo,
>
> es ist
>
> [mm]\frac{1}{2}-\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{4n+2}[/mm]
>
> und damit sieht das dann noch deutlich besser aus.
Naja ich persönlich finde, dass man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ohne die Umformung besser sieht, Ist aber wohl Geschmackssache
>
> Gruß, Diophant
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