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| Aufgabe | Berechne die Supremumsnorm der folgenden Funktionen:
f(x) = [mm] \bruch{|x|^n}{1+|x|^n} [/mm] , x [mm] \in \IR [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] |
huhu,
nur mal eine damit ich verstehe was ein Supremumsnorm ist. Wir haben heute gelernt, dass sie definiert ist durch:
Sei f : M [mm] \to \IR. [/mm] Dann setze [mm] ||f||_{0,M} [/mm] = [mm] ||f||_{\infty,M} [/mm] = ||f|| := [mm] sup_{x\in M} [/mm] |f(x)| [mm] \in \IR \cup {\infty}
[/mm]
ich denke man sucht hierbei ein Punkt y, der der größte Punkt ist bei beliebigem n und x als Kombination. Durch Rumprobieren denke ich, dass bei x mit 0<x<1 ein sehr kleiner Wert rauskommt. Bei x > 1 würd ich sagen, dass bei bel. n der höchste Punkt niemals 1 wird, aber nahe rankommt. Daher würd ich sagen dass die Supremumsnorm hier 1 wäre.
Hab ich das soweit richtig verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne die Supremumsnorm der folgenden Funktionen:
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> f(x) = [mm]\bruch{|x|^n}{1+|x|^n}[/mm] , x [mm]\in \IR[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm]
>
> huhu,
>
> nur mal eine damit ich verstehe was ein Supremumsnorm ist.
> Wir haben heute gelernt, dass sie definiert ist durch:
>
> Sei f : M [mm]\to \IR.[/mm] Dann setze [mm]||f||_{0,M}[/mm] =
> [mm]||f||_{\infty,M}[/mm] = ||f|| := [mm]sup_{x\in M}[/mm] |f(x)| [mm]\in \IR \cup {\infty}[/mm]
>
>
> ich denke man sucht hierbei ein Punkt y, der der größte
> Punkt ist bei beliebigem n und x als Kombination.
Was meinst Du damit ?
> Durch
> Rumprobieren denke ich, dass bei x mit 0<x<1 ein sehr
> kleiner Wert rauskommt. Bei x > 1 würd ich sagen, dass bei
> bel. n der höchste Punkt niemals 1 wird, aber nahe
> rankommt. Daher würd ich sagen dass die Supremumsnorm hier
> 1 wäre.
>
> Hab ich das soweit richtig verstanden?
Na ja, obiges ist ziemliches Wischi-Waschi !
Zunächst: n ist fest !
Weiter ist 0 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 1 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Damit ist schonmal $||f|| [mm] \le [/mm] 1$.
Kann ||f|| <1 sein ? Nein ! Warum nicht ?
Betrachte mal [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}f(x). [/mm] Wie fällt dieser GW aus ?
FRED
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huhu ;)
wenn ich f(x) bei [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}f(x) [/mm] betrachte, komm ich Beliebig nahe an die 1 ran, daher reicht nicht nur ||f|| < 1 ,richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> huhu ;)
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> wenn ich f(x) bei [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)[/mm]
> betrachte, komm ich Beliebig nahe an die 1 ran, daher
> reicht nicht nur ||f|| < 1 ,richtig?
Ja, es ist [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=1[/mm] . Daher ist ||f||=1
FRED
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ah super^^
vlt noch ein "kleines" Beispiel:
f(x) = [mm] x^s \* (1-x^t) [/mm] , [mm] \in [/mm] [0,1] , n [mm] \in \IN
[/mm]
klar, bei x = 0 oder 1 ist der Gesamtausdruck 0. ich setz daher mein t und s am besten auf 1, weil durch höher Exponenten würde mein x ja gegen 0 gehen. Bin mir nicht sicher, aber der höchste Wert müsste 0,25 sein,
sprich [mm] ||f||\le [/mm] 0,25 ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> ah super^^
>
> vlt noch ein "kleines" Beispiel:
> f(x) = [mm]x^s \* (1-x^t)[/mm] , [mm]\in[/mm] [0,1] , n [mm]\in \IN[/mm]
>
> klar, bei x = 0 oder 1 ist der Gesamtausdruck 0. ich setz
> daher mein t und s am besten auf 1,
Das kannst Du nicht machen !
> weil durch höher
> Exponenten würde mein x ja gegen 0 gehen. Bin mir nicht
> sicher, aber der höchste Wert müsste 0,25 sein,
>
> sprich [mm]||f||\le[/mm] 0,25 ?
Du hast betrachtet f(x)=x(1-x) . Dieses f nimmt in [0,1] tatsächlich 1/4 als größten Funktionswert an.
Anders ist es bei [mm] g(x)=x^2(1-x)
[/mm]
Es ist max [mm] \{g(x): x \in [0,1] \}= \bruch{4}{27}
[/mm]
FRED
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jetzt bin ich neugierig^^
wie bist du auf die
[mm] g(x)=x^2(1-x)
[/mm]
[mm] \{g(x): x \in [0,1] \}= \bruch{4}{27} [/mm] auf den präzisen Wert gekommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> jetzt bin ich neugierig^^
>
> wie bist du auf die
> [mm]g(x)=x^2(1-x)[/mm]
> [mm]\{g(x): x \in [0,1] \}= \bruch{4}{27}[/mm] auf den präzisen
> Wert gekommen?
Bist Du mal zur Schule gegangen ? Hoffentlich ! Hast Du dort das Wort "Kurvendiskussion" schreiben gelernt ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Evelyn,
> jetzt bin ich neugierig^^
>
> wie bist du auf die
> [mm]g(x)=x^2(1-x)[/mm]
> [mm]\{g(x): x \in [0,1] \}= \bruch{4}{27}[/mm] auf den präzisen
> Wert gekommen?
ganz einfach etwa mit folgender Argumentation:
Wenn eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ihr Maximum und ihr Minimum annimmt, d.h. es gebe [mm] $\tilde{m},\,\tilde{M} \in \IR$ [/mm] so dass [mm] $\tilde{m} \le [/mm] f(x) [mm] \le \tilde{M}$ [/mm] für alle $x [mm] \in D_f$ [/mm] ('Definitionsbereich von [mm] $f\,$') [/mm] gelte und es gebe [mm] $x_m,x_M \in D_f$ [/mm] mit [mm] $f(x_m)=\tilde{m}\,,$ $f(x_M)=\tilde{M}\,,$ [/mm] dann gilt
[mm] $$\|f\|_{\infty,D_f}=\max\{|\tilde{m}|\,,|\tilde{M}|\}\,.$$
[/mm]
(Beweis? (Das ist wirklich fast trivial!))
Den Rest kannst Du Freds Antwort entnehmen... bzw. jedenfalls die Idee, wie man dann hier vorgehen kann.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Evelyn,
> Berechne die Supremumsnorm der folgenden Funktionen:
>
> f(x) = [mm]\bruch{|x|^n}{1+|x|^n}[/mm] , x [mm]\in \IR[/mm] , n [mm]\in \IN[/mm]
>
> huhu,
>
> nur mal eine damit ich verstehe was ein Supremumsnorm ist.
> Wir haben heute gelernt, dass sie definiert ist durch:
>
> Sei f : M [mm]\to \IR.[/mm] Dann setze [mm]||f||_{0,M}[/mm] =
> [mm]||f||_{\infty,M}[/mm] = ||f|| := [mm]sup_{x\in M}[/mm] |f(x)| [mm]\in \IR \cup \{\infty\}[/mm]
anstatt der ${}$ solltest Du [mm] [nomm]$\{\}$[/nomm] [/mm] schreiben, wenn die geschweiften Klammern sichtbar sein sollen!
Ich sag' Dir mal, was diese Supremumsnorm wirklich macht:
Bei unbeschränkten Funktionen nimmt [mm] $\|f\|_{M,\infty}$ [/mm] natürlich den Wert [mm] $\infty$ [/mm] an.
Ist [mm] $f\,$ [/mm] eine beschränkte Funktion, dann schaust Du Dir die Bildmenge von [mm] $f\,,$ [/mm] also [mm] $\{f(x):\;x \in M\}$ [/mm] an. Ist Dir klar, wie man die anhand des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] (auf der [mm] $y\,$-Achse) [/mm] visualisieren kann?
Und jetzt spiegelst Du alle negativen Werte (also alle $r < [mm] 0\,,$ [/mm] so dass es ein $x [mm] \in M\,$ [/mm] mit $f(x) = [mm] r\,$ [/mm] gibt) nach "oben" auf deren Betragswert - diese werden also mit [mm] $-1\,$ [/mm] multipliziert.
Nur die so entstandene Menge, die jetzt noch oberhalb von [mm] $y=0\,$ [/mm] liegt, nimmst Du her. Deren Supremum ist (weil [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt ist) nix anderes als [mm] $\|f\|_{M,\infty}\,.$ [/mm]
Alternativ:
Es ist [mm] $\|f\|_{M,\infty}=\text{sup}\{|f(x)|: x \in M\}\,,$ [/mm] d.h. es ist [mm] $\|f\|_{M,\infty}$ [/mm] das Supremum des Bildes von [mm] $\red{|}f\red{|}\,.$
[/mm]
Die Visualisierung von [mm] $|f|(M)\,$ [/mm] geht entweder genauso wie oben beschrieben (anhand des Bildes von [mm] $f\,$), [/mm] oder Du visualisierst das Bild der Funktion $|f|: M [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $|f|(x):=|f(x)|\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm]
Und wie geht letzteres schnell?
Naja, mit "Rumklappen der Funktionswerte von [mm] $f\,,$ [/mm] die unterhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] liegen, nach oben" erhält man schnell den Graphen von [mm] $|f|\,,$ [/mm] wenn man den von [mm] $f\,$ [/mm] visualisiert hat.
P.S.
Anstatt der [mm] $\|.\|_{M,\infty}$ [/mm] meinte ich natürlich [mm] $\|.\|_{\infty,M}\,,$ [/mm] aber das ist ja nur eine Schreibweise/Konvention. Ich ändere das nun nicht mehr überall!
Gruß,
Marcel
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