Surj./Injek. verkettete Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo an Euch,
ich habe eine Aufgabe an der ich nicht so recht weiter komme:
f:X->Y , g:Y->Z , h:Z->W seien Abbildungen. zeigen Sie:
o := verkettet
a)gof surjektiv => g surjektiv
b)gof injektiv => f injektiv
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a)gof surjektiv => g surjektiv
Mein Vorschlag:
(1) g:Y->Z
g ist surjektiv <=> es existiert ein yY mit g(y)=zZ.
(2) (gof) surjektiv X->Z
<=> (gof)(x) = g(f(g)) = g(y) = z => (1)
b)gof injektiv => f injektiv
Mein Vorschlag:
(1) f:X->Y
f ist injektiv <=> es gibt x,x´X für die gelten:
x = x´=> f(x) = f(x´)
(2) (gof) injektiv X->Z
<=> (gof)(x) = (gof)(x´)
=> g(f(x)) = g(f(x´))
=> f(x) = f(x´)
=> x = x´
=> (1)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Ronny,
Hmm, es ist doch jeweils die linke Seite der Implikation deine zu benutzende Voraussetzung, ich verstehe deinen Ansatz nicht ganz ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
zur (a) mal einen Tipp:
also zunächst ist [mm] $g\circ f:X\rightarrow [/mm] Z$
zz.: [mm] $g\circ [/mm] f$ surj. [mm] $\Rightarrow [/mm] g$ surj.
Bew.: Sei [mm] $g\circ [/mm] f$ surj , dh. [mm] $\forall z\in Z\exists x\in [/mm] X: [mm] (g\circ [/mm] f)(x)=g(f(x))=z$ [Def. Surj.]
[mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ Abbildung [mm] $\Rightarrow x\mapsto f(x)\in [/mm] Y$
bezeichne mit $y:=f(x)$, so existiert also zu beliebigem [mm] $z\in [/mm] Z$ ein [mm] $y=f(x)\in [/mm] Y$ mit $g(f(x))=g(y)=z [mm] \Rightarrow [/mm] g$ ist surj.
bei der (b) würde ich indirekt vorgehen,
Sei also [mm] $g\circ [/mm] f$ injektiv
Ann.: f nicht injektiv
Dann die Def. von Inj. und [mm] $g\circ [/mm] f$ benutzen und die Tatsache, dass g eine Abbildung ist. Das sollte schnell einen Widerspruch bringen
Gruß
schachuzipus
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Du musst die Beweiskette genau einhalten:
>
> a)gof surjektiv => g surjektiv
>
> b)gof injektiv => f injektiv
>
>
a)gof surjektiv => g surjektiv
>
> Mein Vorschlag:
> (1) g:Y->Z
> g ist surjektiv <=> es existiert ein yY mit g(y)=zZ.
Fang doch einfach links an
>
> (2) (gof) surjektiv X->Z
genau!
> <=> (gof)(x) = g(f(g)) = g(y) = z => (1)
Es reicht ==>,
aber so klappt es nicht, sondern so:
(gof) surjektiv X->Z ==> Für alle z aus Z existiert ein x aus X mit (gof)(x)=z ==>g(f(x))=z ==> es existiert zu jedem z aus Z ein y=f(x) mit g(f(x))=g(y)=z ==> g ist surjektiv.
>
> b)gof injektiv => f injektiv
>
> Mein Vorschlag:
> (1) f:X->Y
> f ist injektiv <=> es gibt x,x´X für die gelten:
> x = x´=> f(x) = f(x´)
Quatsch: Für jede Funktion gilt: x = x´=> f(x) = f(x´)
> (2) (gof) injektiv X->Z
> <=> (gof)(x) = (gof)(x´)
Es reicht wieder ==>, aber der Rest war falsch!
Also: (gof) injektiv X->Z
==> Wenn (gof)(x) = (gof)(x´), dann x = x'
==> Wenn g(f(x))) = g(f(x´)), dann x = x' (A)
Ist nun f(x)=f(x')=y, dann ist g(y)=g(y), also g(f(x))=g(f(x')) und damit nach (A) x=x'. Somit ist F injektiv.
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