Surjektiv, Injektiv < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Di 27.05.2008 | | Autor: | puk_25 |
| Aufgabe | Zur Erinnerung: Ist p(x) = akxk +ak−1xk−1+. . .+a1x+a0 ein Polynom und
ak 6= 0, so heißt die Zahl k der Grad des Polynoms.
(a) Warum besitzt jedes Polynom mit ungeradem Grad mindestens eine
Nullstelle in R?
(b) Welche Polynome definieren surjektive Funktionen von R nach R?
(c) Welche Polynome definieren bijektive Funktionen von R nach R?
(d) Gibt es auch Polynome, die injektive Funktionen definieren, aber nicht
surjektiv sind? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da bei Aufgabe d) kein Wertebereich gegeben ist, sollen wir hier eine allgemeine Aussage treffen. Ich habe aber leider keine Idee und auch kein Beispiel für ein solches Polynom.
Danke Schonmal im Vorraus für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 Di 27.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu (a) Stichworte:
Verhalten des Polynoms für x gegen unendlich und x gegen -unendlich ?
Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
Betrachte mal die Polynome x, [mm] x^3, x^5, [/mm] .......
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 27.05.2008 | | Autor: | puk_25 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Di 27.05.2008 | | Autor: | puk_25 |
Danke für die schnelle Antwort, aber die ersten drei Aufgabenteile waren nicht das Problem. Die konnte ich schon selbst lösen. Probleme macht mir allerdings die letzte Teilaufgabe.
Meine Lösungsidee war:
Da das Polynom nicht surj. sein darf, fallen alle Polynome mit ungeradem Grad weg. Übrig bleiben nur Polynome geraden Grads. Da wir aber von R nach R abbilden, entstehen hier für unterschiedliche x-Werte identische y-Werte, demnach kann das Polynom nicht injektiv sein, außer wir bilden nur nach R+ ab. Also ist die Aufgabe nur für eine Abbildung nach R+ lösbar.
Stimmt diese Annahme in soweit, oder habe ich einen Denkfehler drin?
MfG Puk_25
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> Da das Polynom nicht surj. sein darf, fallen alle Polynome
> mit ungeradem Grad weg. Übrig bleiben nur Polynome geraden
> Grads.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>Da wir aber von R nach R abbilden, entstehen hier
> für unterschiedliche x-Werte identische y-Werte, demnach
> kann das Polynom nicht injektiv sein
Genauere Begründung würde ich hier noch liefern, am besten über die Betrachtung für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] und [mm]{x\rightarrow -\infty}[/mm] und dann begründen.
>außer wir bilden nur
> nach R+ ab.
Vorsicht!
Dann ist f(x) möglicherweise auf teilen nicht mehr definiert und vorallem wieder möglicherweise surjektiv!
Insofern würde ich diesen "Hinweis" einfach ganz weglassen, deine vorherigen Betrachtungen reichen völlig aus.
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Fr 30.05.2008 | | Autor: | puk_25 |
Danke für die Antwort. So oder so ähnliich hab ich es mir schon gedacht.
MfG PuK_25
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