Surjektive Abbildungen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Ich habe folgende Aufgabe:
Beweise oder widerlege folgende Aussage.
Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume und f: V -> W eine lineare Abbildung, dann gilt:
Wenn f surjektiv ist, dann ist dimW [mm] \le [/mm] dim V |
Nun gut, ich habe es mir mit "Kugeldiagrammen" aufgezeichnet und tippe mal, dass es richtig sei.
Beweis:
Ich nehme an mein Vektorraum V hat [mm] \{v_1, v_2,....v_n\} [/mm] lineare Unabhängige Vektoren.
Auch mein Vektoraum W hat [mm] \{w_1, w_2,...., w_m\} [/mm] linear unabhängige Vektoren.
Eine Abbildung ist demnach surjektiv wenn ich jedem w [mm] \in [/mm] W mindestens ein [mm] v\in [/mm] V zuweißen kann.
Also hätte ich meine lineare Abbildung [mm] f:(v_i) [/mm] = [mm] w_i [/mm] für i [mm] =\{1,2,3,....,n\} [/mm] genommen.
Gilt nun, dass [mm] \{w_1,w_2,...w_n\} [/mm] ebenfalls linear unabhängig in W sind, so bilden sie eine Basis und zumindest dimV = dimW ist surjektiv. Bleibt noch zu zeigen, dass dimV > dimW.
Dies zeigt sich doch aus der Tatsache, dass ich V "aufblasen" kann so groß ich will, solange ich die Elemente/Vektoren immer auf W abbilden kann. Somit würde auch gelten, dass dimV > dimW ist surjektiv und meine Aussage ist wahr.
Was sagt ihr dazu
Danke euch
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> Hi,
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> Ich habe folgende Aufgabe:
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> Beweise oder widerlege folgende Aussage.
> Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume und f: V -> W
> eine lineare Abbildung, dann gilt:
>
> Wenn f surjektiv ist, dann ist dimW [mm]\le[/mm] dim V
> Nun gut, ich habe es mir mit "Kugeldiagrammen"
> aufgezeichnet und tippe mal, dass es richtig sei.
>
> Beweis:
> Ich nehme an mein Vektorraum V hat [mm]\{v_1, v_2,....v_n\}[/mm]
> lineare Unabhängige Vektoren.
> Auch mein Vektoraum W hat [mm]\{w_1, w_2,...., w_m\}[/mm] linear
> unabhängige Vektoren.
>
> Eine Abbildung ist demnach surjektiv wenn ich jedem w [mm]\in[/mm] W
> mindestens ein [mm]v\in[/mm] V zuweißen kann.
Ja
>
> Also hätte ich meine lineare Abbildung [mm]f:(v_i)[/mm] = [mm]w_i[/mm] für
> i [mm]=\{1,2,3,....,n\}[/mm] genommen.
> Gilt nun, dass [mm]\{w_1,w_2,...w_n\}[/mm] ebenfalls linear
> unabhängig in W sind, so bilden sie eine Basis und
Ok
> zumindest dimV = dimW ist surjektiv.
Komische Formulierung.
> Bleibt noch zu
> zeigen, dass dimV > dimW.
Wieso? Wenn du $a=b$ gezeigt hast, dann hast du auch gleichzeitig [mm] $a\leq [/mm] b$ gezeigt.
>
> Was sagt ihr dazu
> Danke euch
>
Sieht man das nicht direkt mit dem Dimensionssatz
dim(Ker(f)) + dim(Bild(f)) = dim V
und "f ist surjektiv" <=> Bild(f)=W
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> Wieso? Wenn du [mm]a=b[/mm] gezeigt hast, dann hast du auch
> gleichzeitig [mm]a\leq b[/mm] gezeigt.
hmmm
würde das dann auch für a [mm] \ge [/mm] b gelten wenn ich a=b zeige ?
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Ja aus $a=b$ folgt direkt [mm] $a\geq [/mm] b$.
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