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Surjektivität: Noch was fürs Sommerloch
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Mi 13.07.2011
Autor: fred97

Aufgabe
Die Funktion [mm] $\mu: \IC^3 \to \IC^3$ [/mm] sei definiert durch

           [mm]\mu(u,v,w):=(u+v+w,uv+vw+wu,uvw)[/mm].

Man zeige, dass f surjektiv ist.


Es wäre nett, wenn eine der Moderatorinnen oder einer der Moderatoren, obige Aufgabe in der üblichen Weise kennzeichnen würde.

Edit: reverend, ich danke Dir.

Gruß FRED

        
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Mi 13.07.2011
Autor: schachuzipus

Dummyfrage!




Bezug
        
Bezug
Surjektivität: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:28 Mi 13.07.2011
Autor: Schadowmaster

Ich nehme einfach mal an [mm]\mu \my = f[/mm]?^^
Dann ist doch einfach zu zeigen, dass
[mm]\forall y \in \IC^3 \exists x \in \IC^3: f(x) = y[/mm]

Spaltet man dies auf die einzelnen Elemente auf erhält man also:

[mm]\forall a,b,c \in \IC \exists u,v,w \in \IC[/mm]:
a  =  u+v+w
b = uv + uw + vw
c  =  uvw


Man muss jetzt einzig zeigen, dass dieses Gleichungssystem für alle [mm]a,b,c \in \IC[/mm] mindestens eine Lösung hat.


Wenn man es einfach in Maple oder ein vergleichbares Programm reinschmeißt sieht man zumindest, dass es für alle a,b,c mindestens eine Lösung gibt (in erster Linie da die Wurzelfunktion auf ganz [mm]\IC[/mm] definiert ist).
Ich hab das auch nochmal der Vollständigkeit halber von Hand durchgerechnet, wer einen Rechenfehler findet darf ihn behalten. ;)

[mm]a = u+v+w \gdw w = a-u-v[/mm]
[mm]b = uv + uw + vw = ua + va - uv - u^2 - v^2[/mm]
[mm]c = uv(a-u-v) = u(ua - uv - v^2)[/mm]

Jetzt nehm ich mir die b-Zeile und mach da ein wenig quadratische Ergänzung und Co drauf:
[mm]b = u(a - v) - u^2 - v^2 +va[/mm]
[mm]\gdw u^2 +u(v-a) + v^2 - va + b = 0[/mm]
[mm]\gdw (u + \frac{v-a}{2})^2 - \frac{v^2 - 2va + a^2}{4} - va + v^2 + b = 0[/mm]
[mm]\gdw (u + \frac{v-a}{2})^2 = \frac{-3v^2 + 6va +a^2 + 4b}{4}[/mm]
[mm]\Rightarrow u = \frac{a-v + \sqrt{-3v^2 + 6va +a^2 + 4b}}{2}[/mm]

In der letzten Zeile hätte natürlich eigendlich ein [mm]\pm[/mm] stehen müssen, aber da ich nur zeigen will, dass es mindestens eine Lösung gibt, ist es ja egal wenn die potentielle zweite Lösung wegfällt.
Jetzt betrachte ich die c-Zeile, damit es nicht so viel Schreibkram gibt lasse ich erstmal das u drinn:
[mm]c = uva - u^2v - uv^2[/mm]

Nun gibts noch eine Fallunterscheidung, wir nehmen erstmal an [mm]u \not= 0[/mm].
Dann ist:
[mm]\frac{c}{u} = va - uv - v^2[/mm]
[mm]\gdw v^2 + v(u-a) + \frac{c}{u} = 0[/mm]
[mm]\gdw (v + \frac{u-a}{2})^2 = -\frac{c}{u} + \left(\frac{u-a}{2}\right)^2[/mm]
[mm]\gdw v = -\frac{u-a}{2} + \sqrt{-\frac{c}{u} + \left(\frac{u-a}{2}\right)^2}[/mm]

Wie oben wurde hier das [mm]\pm[/mm] wieder eingespart.
Nun ist einzig u=0 noch zu betrachten.
Dafür nehmen wir die obige Zeile in der u berechnet wurde:
[mm]u = \frac{a-v + \sqrt{-3v^2 + 6va +a^2 + 4b}}{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow v^2 - 2va + a^2 = -3v^2 + 6va + a^2 + 4b[/mm]
[mm]\gdw 4v^2 -8va -4b = 0[/mm]
[mm]\gdw v^2 - 2va -b = 0[/mm]
[mm]\gdw (v - a)^2 = a^2 + b[/mm]
[mm]\Rightarrow v = a+\sqrt{a^2 + b}[/mm]

Wir finden also für beide Fälle ([mm]u \not= 0[/mm] und [mm]u=0[/mm] ein v in Abhängigkeit von a,b,c)

Somit ist also gezeigt, dass das Gleichungssystem für alle [mm]a,b,c \in \IC[/mm] lösbar ist und f somit surjektiv ist.
[mm]\square[/mm]


Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Mi 13.07.2011
Autor: fred97

Hallo Schattenmeister,

ich hab nicht alles nachgerechnet. ich dachte eigentlich an eine Lösung ohne Maple und solch eine riesige Rechnerei.

Wenn man geschickt argumentiert , gibts gar nichts zu rechnen und die Lösung ist 2 Zeilen lang.

Dennoch herzlichen Dank für die Mühe, die Du Dir gemacht hast.

Gruß FRED

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Bezug
Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:06 Mi 13.07.2011
Autor: Schadowmaster

Gut dass du es nicht nachgerechnet hast, ist nämlich noch ein kleiner Fehler drinn, der sich zwar beseitigen ließe - aber das wäre dann wirklich großer Rechenaufwand.^^

zwei-Zeilen-Lösung ohne rechnen?
Na dann überleg ich nochmal ne Runde.^^


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Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 So 17.07.2011
Autor: Leopold_Gast

Betrachte das Polynom [mm]z^3 - a z^2 + bz - c[/mm]. Stichwort: elementarsymmetrische Funktionen.

Bezug
        
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Surjektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Do 14.07.2011
Autor: adlerbob

Hallo!
Ich habe folgende Idee:
Also wir haben ja 3 Gleichungen mit 3 Unbekanten, daher ist diese Gleichungsystem Lösbar, falls es nicht überbestimmt ist.
Die LGS ist nicht überbestimmt da es jeweils polynome von 1, 2 und 3. Grades sind, die natürlich in [mm] \IC [/mm] lösbar sind.

Das war mal meine Idee.
mfg
Alex

Bezug
                
Bezug
Surjektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Do 14.07.2011
Autor: Schadowmaster

Das Problem dabei ist:
Du hast ein Gleichungssystem, aber es ist kein lineares.
$u*w$ zum Beispiel macht die Linearität kaputt...

Also du hast ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, aber daraus kannst du noch nicht folgern, dass es auch lösbar ist.

Nimmst du zum Beispiel:

[mm] $x^2 [/mm] = -1$
Das ist eine Gleichung, eine Variable, aber trotzdem in [mm] $\IR$ [/mm] nicht lösbar...

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Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Do 14.07.2011
Autor: adlerbob

in [mm] \IC [/mm] aber schon.
und GS in der Sinne:
u+v+w=a
uv+vw+uw=b
uvw=c

Ist zwar nicht eindeutig lösbar, aber auf jedenfall Lösbar, und daher surjektiv.

u=a-v-w
2.te Gleichung u reinsetzen und nach v auflösen. Und dann u und v ins 3.Gleichung reinsetzen. Da es in [mm] \IC [/mm] ist,  sind alle Schritte durchführbar.

mfg
Alex


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Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Do 14.07.2011
Autor: Schadowmaster

Du kannst doch nicht sagen, dass jedes Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen über [mm] $\IC$ [/mm] lösbar ist, oder?

Gegenbeispiel:
x = 1
x*y - y = 1

Dass das Gleichungssystem für die Funktion lösbar ist ist mir klar (siehe meine obige Antwort^^).
Aber fred möchte ja eine geniale Antwort haben, kein Gleichungssystem. :-(

Bezug
        
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Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Do 14.07.2011
Autor: felixf

Moin,

ich hab meine Loesung mal versteckt. Ich denke dass es das ist was Fred im Sinne hatte ;-)

Wer sie sehen mag melde sich bei mir, dann fuege ich ihn bei den Leserechten hinzu.

LG Felix


Bezug
                
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Surjektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Fr 15.07.2011
Autor: fred97


> Moin,
>  
> ich hab meine Loesung mal versteckt. Ich denke dass es das
> ist was Fred im Sinne hatte ;-)

Hallo Felix,

ja, Deine Lösung habe ich im Sinne.

Gruß FRED

>  
> Wer sie sehen mag melde sich bei mir, dann fuege ich ihn
> bei den Leserechten hinzu.
>  
> LG Felix
>  


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