Surjektivität < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 Mo 09.12.2013 | | Autor: | xyz3 |
| Aufgabe | f2 : [mm] \IC [/mm] → [mm] \IC: [/mm] z [mm] \mapsto i(\overline{2z})^2
[/mm]
entscheide ob diese Funktion surjektiv ist. |
Wie muss ich vorgehen um dies zu prüfen?
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben
Vielen Dank im voraus
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Hallo xyz3,
> f2 : [mm]\IC[/mm] → [mm]\IC:[/mm] z [mm]\mapsto i(\overline{2z})^2[/mm]
>
> entscheide ob diese Funktion surjektiv ist.
> Wie muss ich vorgehen um dies zu prüfen?
Na, was ist die Definition von Surjektivität?
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben
Bestimm doch mal [mm] i(\overline{2z})^2 [/mm] für $z=a+bi$.
Grüße
reverend
> Vielen Dank im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Mo 09.12.2013 | | Autor: | xyz3 |
f(a)=z für alle a und z muss gelten.
mit a+bi komm ich auf
[mm] 8ab+(4a^2-4b^2)i
[/mm]
wie muss ich jetzt weitermachen ?
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Hallo,
in deiner Rechnung oben hast du irgendein Kuddelmuddel mit den Vorzeichen angerichtet. IMO müssten das
[mm] -8ab+4(a^2-b^2)i
[/mm]
sein. Aber ist denn die kartesische Darstellung die einzige, die dir zur Verfügung steht?
Meiner Ansicht nach würde das hier sicherlich in Polar- bzw. Eulerform einfacher gehen. Du musst halt zeigen, dass für [mm] a,b\in\IR [/mm] der obige Ausdruck jede komplexe Zahl annehmen kann. Benutze dabei einmal, dass Quadrieren das Argument einer komplexen Zahl verdoppelt und Multiplikation mit i eine komplexe Zahl um [mm] \pi/2 [/mm] im Gegenuhrzeigersinn dreht.
Oder du drehst den Spieß um und versuchst, eine Umkehrabbildung zu finden. Wenn die dann für jedes z ein Urbild liefert, wäre es auch gezeigt.
Die Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit: wie so oft bei komplexen Zahlen führen viele Wege nach Rom, und viel leicht wirst du ja auch beim Studium deiner Unterlagen einen Hinweis finden, wie du hier vorgehen sollst.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:19 Di 10.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir geben ein w [mm] \in \IC [/mm] vor.
Die Frage ist nun, ob es ein z [mm] \in \IC [/mm] gibt mit:
[mm] i(\overline{2z})^2=w.
[/mm]
1. Begründe: es gibt ein u [mm] \in \IC [/mm] mit: [mm] i*u^2=w.
[/mm]
2. Begründe: es gibt ein z [mm] \in \IC [/mm] mit: [mm] \overline{2z}=u.
[/mm]
FRED
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