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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Surjektivität / Injektivität
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Surjektivität / Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:41 Di 27.11.2018
Autor: Paivren

Hallo,

noch eine Frage zu komplexen Funktionen:

Ich will zeigen oder widerlegen, dass die folgende Funktion surjektiv oder injektiv ist:

[mm] f(z)=sin^{8}(z) [/mm] - [mm] sin^{5}(z) +\sqrt{13}sin^{4}(z) +\pi [/mm]

[edit: f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC] [/mm]

Ich hatte gehofft, mit der Substitution c=sin(z) erstmal den Sinus wegzubekommen, aber dann steht da immer noch ein Polynom 8-ter Ordnung...
Die sin() Funktionen kann man mittels e-Funktionen darstellen. Aber bei so hohen Exponenten wird das am Ende dann trotzdem schnell ungemütlich.

Seht ihr einen einfachen Trick, mit dem man diese Funktion angehen kann?



        
Bezug
Surjektivität / Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Di 27.11.2018
Autor: Chris84


> Hallo,
>  
> noch eine Frage zu komplexen Funktionen:
>  
> Ich will zeigen oder widerlegen, dass die folgende Funktion
> surjektiv oder injektiv ist:
>  
> [mm]f(z)=sin^{8}(z)[/mm] - [mm]sin^{5}(z) +\sqrt{13}sin^{4}(z) +\pi[/mm]
>
> Ich hatte gehofft, mit der Substitution c=sin(z) erstmal
> den Sinus wegzubekommen, aber dann steht da immer noch ein
> Polynom 8-ter Ordnung...
>  Die sin() Funktionen kann man mittels e-Funktionen
> darstellen. Aber bei so hohen Exponenten wird das am Ende
> dann trotzdem schnell ungemütlich.
>  
> Seht ihr einen einfachen Trick, mit dem man diese Funktion
> angehen kann?


Huhu,
Definitions- und Wertebereich waeren nett ;)
Sonst kann man nicht viel zur Surjektivitaet und Injektivitaet aussagen ;)

Lg,
Chris

Bezug
                
Bezug
Surjektivität / Injektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Di 27.11.2018
Autor: Paivren

Sorry!
Die Funktion geht von C nach C!

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Surjektivität / Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:17 Mi 28.11.2018
Autor: fred97

Das war keine Frage

Bezug
        
Bezug
Surjektivität / Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Mi 28.11.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> noch eine Frage zu komplexen Funktionen:
>  
> Ich will zeigen oder widerlegen, dass die folgende Funktion
> surjektiv oder injektiv ist:
>  
> [mm]f(z)=sin^{8}(z)[/mm] - [mm]sin^{5}(z) +\sqrt{13}sin^{4}(z) +\pi[/mm]
>
> [edit: f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC][/mm]
>  
> Ich hatte gehofft, mit der Substitution c=sin(z) erstmal
> den Sinus wegzubekommen, aber dann steht da immer noch ein
> Polynom 8-ter Ordnung...
>  Die sin() Funktionen kann man mittels e-Funktionen
> darstellen. Aber bei so hohen Exponenten wird das am Ende
> dann trotzdem schnell ungemütlich.
>  
> Seht ihr einen einfachen Trick, mit dem man diese Funktion
> angehen kann?
>  
>  



Ich bin nicht im Bilde, was Ihr verwenden dürft und könnt.

Zunächst ist

(1) [mm] \sin( \IC)=\IC. [/mm]

Nun sei p ein komplexes Polynom vom Grad [mm] \ge [/mm] 1 und $f(z):=p( [mm] \sin [/mm] z).$

Weiter sei [mm] w_0 \in \IC. [/mm] Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat das Polynom [mm] p-w_0 [/mm] eine Nullstelle [mm] v_0 [/mm] in [mm] \IC, [/mm] wir haben also [mm] p(v_0)=w_0. [/mm]

Wegen (1) gibt es ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] v_0 [/mm] = [mm] \sin z_0. [/mm]

Damit ist [mm] f(z_0)=w_0. [/mm]

Fazit: f ist surjektiv.

f ist nicht injektiv, denn f ist $2 [mm] \pi$ [/mm] - periodisch.

Zu den Zutaten:

ich denke , dass Du den Fundamentalsatz der Algebra verwenden darfst.

Sollte Dir (1) nicht bekannt sein, so versuche mal (1) zu zeigen. Ich helfe Dir, falls Du damit Probleme haben solltest.




Bezug
                
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Surjektivität / Injektivität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Mi 28.11.2018
Autor: Paivren

Vielen Dank, so ist es leicht lösbar!



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