Surjektivität bei Verknüpfung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:42 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
brauche Hilfe für Beweise:
Beweisen sie die folgenden Aussagen:
a) [m] f: X \to Y[/m] ist genau dann surjektiv, wenn für beliebige Abbildungen [m] g_{1},g_{2} : Y \to Z[/m] aus [m] g_{1} \circ f = g_{2} \circ f [/m] die Beziehung [m]g_{1} = g_{2}[/m] folgt.
b) [m] g: Y \to Z[/m] ist genau dann injektiv, wenn für beliebige Abbildungen [m] f_{1},f_{2} : X \to Y[/m] aus [m] g \circ f_{1} = g \circ f_{2} [/m] die Beziehung [m]f_{1} = f_{2}[/m] folgt.
Lösungsansätze:
zu a)
Ich habe mir folgendes überlegt:
[m] g_{1} \circ f = g_{2} \circ f [/m]
[mm] \gdw[/mm] [m] g_{1}(f(x_{1})) = g_{2}(f(x_{2})) [/m]
wenn jetzt [m]g_{1} = g_{2}[/m] bedeutet das, dass sie die gleichen Werte aus dem gleichen "y" erzeugen also muss [m]f(x_{1}) = f(x_{2})[/m] sein und daraus folgt wiederum, dass [m] x_{1} = x_{2} [/m]. Und da jetzt jedem y [mm] \in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y zugeordnet wird ist die Aussage wahr. Jetzt bleibt nur noch ein Beweiß warum [m]g_{1} = g_{2}[/m] folgt.
Bis hierhin bin ich gekommen. Stimmt dies soweit? Kann mir hier jemand weiterhelfen.
zu b)
Hier ist der Beweiß ja dann leicht: laut Definition ist g injektiv wenn [m]g(f_{1}(x))= g(f_{2}(x))[/m] und [m]f_{1} = f_{2}[/m]. Und [m]f_{1} = f_{2}[/m] soll ja folgen.
Hier fehlt mir also auch der Beweiß, wie bei a), dass aus [m] g \circ f_{1} = g \circ f_{2} [/m] die Beziehung [m]f_{1} = f_{2}[/m] folgt.
Kann man dies beweisen oder ist das logisch und man brauch gar keinen beweiß führen?
Wäre nett wenn mir jemand etwas weiterhelfen könnte.
Vielen Dank
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:21 Di 09.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Shaguar!
> brauche Hilfe für Beweise:
> Beweisen sie die folgenden Aussagen:
>
> a) [m]f: X \to Y[/m] ist genau dann surjektiv, wenn für beliebige
> Abbildungen [m]g_{1},g_{2} : Y \to Z[/m] aus [m]g_{1} \circ f = g_{2} \circ f[/m]
> die Beziehung [m]g_{1} = g_{2}[/m] folgt.
>
> b) [m]g: Y \to Z[/m] ist genau dann injektiv, wenn für beliebige
> Abbildungen [m]f_{1},f_{2} : X \to Y[/m] aus [m]g \circ f_{1} = g \circ f_{2}[/m]
> die Beziehung [m]f_{1} = f_{2}[/m] folgt.
>
> Lösungsansätze:
>
> zu a)
> Ich habe mir folgendes überlegt:
>
> [m]g_{1} \circ f = g_{2} \circ f[/m]
> [mm]\gdw[/mm] [m]g_{1}(f(x_{1})) = g_{2}(f(x_{2}))[/m]
>
>
> wenn jetzt [m]g_{1} = g_{2}[/m] bedeutet das, dass sie die
> gleichen Werte aus dem gleichen "y" erzeugen also muss
> [m]f(x_{1}) = f(x_{2})[/m] sein und daraus folgt wiederum, dass
> [m]x_{1} = x_{2} [/m].
Das kann man so nicht folgern, und übersteigt auch das zu zeigende an f (so zeigst du ja fast, das f auch noch injektiv ist).
Aus [mm] $f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}$ [/mm] muss auch gar nicht folgen, dass [mm] x_1=x_2, [/mm] das ist nicht wichtig.
Wichtig ist, dass die Wertemenge von f wirklich alle Werte der Definitionsmenge von g annimmt.
> Und da jetzt jedem y [mm]\in[/mm] Y ein x [mm]\in[/mm] X
> mit f(x)=y zugeordnet wird ist die Aussage wahr. Jetzt
> bleibt nur noch ein Beweiß warum [m]g_{1} = g_{2}[/m] folgt.
> Bis hierhin bin ich gekommen. Stimmt dies soweit? Kann mir
> hier jemand weiterhelfen.
Ich habe mal versucht, den Beweis zu a) in unserer  MatheBank unter Typische Surjektivitäts- und Injektivitätssätze zu führen.
Bei der Rückrichtung ist mir erst nach einiger Zeit klar geworden, dass die Voraussetzung "beliebige [m]g_{1},g_{2} : Y \to Z[/m]" sich nicht nur auf die Abbildungen selbst , sondern auch auf die Beliebigkeit der Zielmenge Z beziehen muß.
Schöner formuliert müßte der Aufgabenteil a) also lauten
a) [m]f: X \to Y[/m] ist genau dann surjektiv, wenn für beliebige Mengen Z und beliebige Abbildungen [m]g_{1},g_{2} : Y \to Z[/m] aus [m]g_{1} \circ f = g_{2} \circ f[/m] die Beziehung [m]g_{1} = g_{2}[/m] folgt.
Andernfalls könnte man nicht auf die Surjektivität von f schliessen, wenn Z nur einelementig ist.
Die vollständigen Beweise für a) findest du jetzt unter dem obigen Link in der MatheBank.
> zu b)
> Hier ist der Beweiß ja dann leicht: laut Definition ist g
> injektiv wenn [m]g(f_{1}(x))= g(f_{2}(x))[/m] und [m]f_{1} = f_{2}[/m].
> Und [m]f_{1} = f_{2}[/m] soll ja folgen.
>
> Hier fehlt mir also auch der Beweiß, wie bei a), dass aus [m]g \circ f_{1} = g \circ f_{2}[/m]
> die Beziehung [m]f_{1} = f_{2}[/m] folgt.
> Kann man dies beweisen oder ist das logisch und man brauch
> gar keinen beweiß führen?
Der Beweis zu b) ist ganz analog und dir zur Übung überlassen 
Viele Grüße,
Marc
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