Surjektivität einer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = 3x + 4 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Behauptung: f ist surjektiv.
Beweis: Sei y [mm] \in \IR. [/mm] Setze x = [mm]\bruch{y - 4}{3}[/mm]. Dann liegt x in [mm] \IR [/mm] und es gilt f(x) = f [mm] \left( \bruch{y - 4}{3} \right) [/mm] = y. Zu jedem y [mm] \in \IR [/mm] gibt es also ein x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x) = y, und somit ist f surjektiv. |
Hallo,
dieser Beweis steht so in meinem Skript. Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie der Gedankengang dabei ist und wieso das jetzt ein vollständiger Beweis ist. Habe aber bei Beweisen immer so meine Probleme.
Als Vorbemerkung zum Beweis steht noch da, dass man um die Behauptung zu beweisen, zu jedem
y [mm] \in \IR [/mm] ein Element x [mm] \in \IR [/mm] mit f(x) = y angeben muss. Das erscheint mir schon logisch, denn nach der Definition zur Surjektivität muss es ja zu jedem Element y aus dem Wertebereich (mindestens) ein Element x aus dem Definitionsbereich geben mit f(x) = y.
Ich kann aber trotzdem den Beweis nicht so wirklich logisch nachvollziehen.
Vieleicht kann mir jemand helfen?! Vielen Dank schon mal!
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Grüße!
Also eigentlich steht doch schon wirklich alles da.  Die Definition von Surjektivität hast Du ja auch gleich angegeben: eine Abbildung $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] heißt surjektiv, wenn es zu jedem Element in der Wertemenge (alsdo jedem $y [mm] \in \IR$) [/mm] ein Element der Definitionsmenge (hier ein $x [mm] \in \IR$) [/mm] gibt mit $f(x) = y$. Du musst also zu jedem möglichen Bildpunkt ein Element des Urbildes angeben.
Und genau das ist dort getan. Die Abbildung ist gegeben durch $f(x) = 3x + 4$.
Ich vermute einfach mal, dass Dir schon klar ist, dass mit dem Beweis die Surjektivität gezeigt wird (denn da wird ja genau das Geforderte gemacht, zu beliebigem $y [mm] \in \IR$ [/mm] wird ein $x [mm] \in \IR$ [/mm] angegeben, für das gilt $f(x) = y$) und Deine Frage eher darauf abzielt: Wie kommt man drauf? Korrigiere mich, wenn diese Annahme falsch ist.
Also, wie kommt man drauf? Der Ansatz $f(x) = y$ den man erfüllen möchte führt durch Einsetzen der Funktionsgleichung auf $3x + 4 = y$. Man hat ein $y$ gegeben und sucht ein $x$, so dass diese Gleichung erfüllt ist... dann muss man die aber doch einfach nach $x$ umstellen!
Und das ergibt exakt die angegebene Gleichung $x = [mm] \frac{y - 4}{3}$. [/mm] Da steckt kein Geheimnis dahinter...
In diesem Fall ist dies auch die Vorschrift der Umkehrabbildung, die in diesem Fall auch existiert, da die Funktion sogar bijektiv ist - es gibt also hier speziell zu jedem $y [mm] \in \IR$ [/mm] genau ein Urbild, das oben errechnet wurde. Das muss nicht immer der Fall sein, eventuell hat man mehrere Urbilder zur Wahl, wenn die Abbildung zwar surjektiv aber nicht injektiv ist.
Ich hoffe, dass die Sache ein wenig klarer ist... falls nicht, frag nochmal nach, ja?
Gruß,
Lars
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