Surjektivität und Monotonie < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey 
Ich habe mir für heut Abend ein paar Matheaufgaben vorgenommen und hänge gerade hier:
Es sei f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gegeben durch f(x)=0,5* [mm] (e^{x}-e^{-x})
[/mm]
jetzt soll ich zum einen die 1. strenge Monotonie bestimmen und zum anderen die 2. Surjektivität zeigen
Mein Ansatz
zu 1) die Voraussetzung für strenge Monotonie ist ja [mm] a_{n+1}>a_{n}
[/mm]
also muss gelten:
0,5* [mm] (e^{n+1}-e^{-n-1})>0,5* (e^{n}-e^{-n})
[/mm]
nun kürzen wir die 0,5 heraus und erhalten:
[mm] (e^{n+1}-e^{-n-1})>(e^{n}-e^{-n})
[/mm]
ich hätte gedacht das es an dieser Stelle sinnvoll ist mit der Induktion zu arbeiten, also:
Induktionsschritt
[mm] (e^{n+2}-e^{-n-2})>(e^{n+1}-e^{-n-1})
[/mm]
leider weiß ich an dieser Stelle nicht wie man weiter umformt. kann mir einer von euch weiterhelfen?
zu 2) hier soll ich ja die Surjektivität beweisen.
Allgemein gilt ja:
f heiß surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y ∈ N
mindestens eine Lösung x ∈ M besitzt
Doch wie kann ich dies an dieser Stelle beweisen?
meine Idee wäre:
Es muss ja der gesamte Funktionswertebereich durchlaufen werden. Das ist bei [mm] g(x)=e^{x} [/mm] ja nicht der Fall. Denn die E-Funktion nimmt nur positive Werte an. Da wir in unserer Funktion jedoch negative Vorfaktoren haben kann diese auch negative Werte annehmen. Doch wie kann ich die Surjektivität an dieser Stelle näher beweisen?
Liebe Grüße
Anna Hundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Fr 24.01.2014 | | Autor: | Sax |
hi,
dein Ansatz ist gar keine gute Idee, weil du die Aussage ja für beliebige reelle x nachweisen solldt und nicht nur für positive ganzzahlige Werte n.
Du kennst sicher einen Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Ableitung. Nutze diesen.
Für den Nachweis der Surjektivität zeige, dass die Gleichung y = [mm] 0,5*(e^x-e^{-x}) [/mm] eindeutig nach x aufgelöst werden kann. Setze dazu am besten [mm] z=e^x. [/mm] Beachte z>0 (*) ! Du erhälst eine quadratische Gleichung in z, löse sie mit der pq-Formel und argumentiere mit (*), dass nur eine der Lösungen für x infrage kommt.
Gruß Sax.
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Hey
danke erstmal für deine Hilfe.
Leider darf ich die Ableitung noch nicht benutzen. Wie kann ich also dann die Monotonie nachweisen, wenn nicht mit meinem Ansatz?
Dann zur Surjektivität:
wenn [mm] e^{x} [/mm] =z ist..was ist das [mm] e^{-x}=? [/mm] vielleicht -z? aber das würde ja nicht passen
LG
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Hallo,
du brauchst hier nichts zu substitieren. Aber du darfst nicht Werte x und x+1 betrachten das ist der erste Fehler. Denn zwischen x und x+1 könnten 158 Extrempunkte liegen, zwei würden auch schon reichen, damit wäre deine erhaltene Aussage für die Katz. Denn du verlässt dich eben darauf, dass zwischen x und x+1 schon nichts passieren wird.
Mache es so:
Sei h>0. Dann ist sicherlich [mm] x_2=x+h>x=x_1. [/mm] Betrachte jetzt die Differenz der Funktionswerte [mm] f(x_2)-f(x_1) [/mm] im Prinzip so, wie du es gemacht hast. Nutze also Potenzgesetze und dann übe dich in der Kunbst des Faktorisierens. Mit h>0 ist [mm] e^h>1 [/mm] und [mm] e^{-h}<1, [/mm] das wirst du auch noch benötigen.
PS: du weißt, dass die betrachtete Funktion den Namen Sinus Hyperbolicus, abgekürzt: sinh(x), hat?
Gruß, Diophant
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Hey, die Monotonie habe ich jetzt bewiesen. jetzt geht es nur noch um die Surjektivität. Ich habe folgendes versucht
mit [mm] e^{x}=z [/mm] erhalte ich:
0,5z-(0,5/z)=y
das heißt es gibt für jedes y ein Element aus der Urbildmenge X.
Ist damit die Surjektivität bewiesen?
LG
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Hallo,
> Hey, die Monotonie habe ich jetzt bewiesen. jetzt geht es
> nur noch um die Surjektivität. Ich habe folgendes
> versucht
> mit [mm]e^{x}=z[/mm] erhalte ich:
> 0,5z-(0,5/z)=y
> das heißt es gibt für jedes y ein Element aus der
> Urbildmenge X.
Nein, so einfach geht das nicht. Du musst hier schon die Eindeutigkeit zeigen, indem du die Gleichung korrekt nach x auflöst, also im Prinzip die Gleichung der UImkehrfunktion bestimmst (daher mein Tipp, dass es sich um den Sinus Hyperbolicus handelt).
> Ist damit die Surjektivität bewiesen?
Wenn du es zu Ende rechnest: ja, genau so, wie es dir Sax aufgezeigt hat.
Meiner Ansicht nach könnte man jedoch auch über das Grenzverhalten für [mm] x\to\pm\infty [/mm] gehen und mit der Stetigkeit der e-Funktion argumentieren, das wäre einfacher.
Gruß, Diophant
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Heyho
ich erhalte wenn ich nach x umforme:
[mm] x=ln(y+\wurzel{y^2 +1})
[/mm]
stimmt das so? bzw. reicht es dann aus um die Surjektivität zu beweisen?
LG
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Hallo,
> Heyho
> ich erhalte wenn ich nach x umforme:
> [mm]x=ln(y+\wurzel{y^2 +1})[/mm]
Ja, und das ist nichts anders als arsinh(y).
> stimmt das so? bzw. reicht es
> dann aus um die Surjektivität zu beweisen?
Wieso denkst du da nicht erst selbst darüber nach? Also im Sinne eines unserem Forum adäquaten Threads würdest du hier eine Vermutung samt Begründung äußern und dann rückfragen, ob diese richtig bzw. falsch ist und warum.
Mache dir jetzt klar, weshalb die obige Gleichung für jedes [mm] y\in\IR [/mm] gilt, das ist nämlich so selbstverständlich nicht!
Und man muss es mal wieder sagen: solche Analysis-Aufgaben sind eben keine Rechen-, sondern Denk-Aufgaben!
Gruß, Diophant
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Hey
den Weg über Substitution habe ich ja selber erhalten. Tut mir leid. Ich wusste nicht, dass es sinnvoll wäre das alles nochmal neu aufzulisten. Ich bin ja neu hier :-(
Wenn ich nun die Stetigkeit dieser Umkehrfunktion beweisen soll, wie setze ich da am Besten an? Das Delta - Epsilon Kriterium macht ja hier nicht so viel Sinn..aber generell kann man ja schlussfolgern, dass f stetig ist. da sie streng monoton wächst. Wie kann ich nun darauf schließen, dass auch [mm] f^{-1} [/mm] stetig ist?
LG
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Hallo,
> Hey
> den Weg über Substitution habe ich ja selber erhalten.
Und?
> Tut mir leid. Ich wusste nicht, dass es sinnvoll wäre das
> alles nochmal neu aufzulisten.
Was??
> Ich bin ja neu hier :-(
Wo???
> Wenn ich nun die Stetigkeit dieser Umkehrfunktion beweisen
> soll, wie setze ich da am Besten an? Das Delta - Epsilon
> Kriterium macht ja hier nicht so viel Sinn..aber generell
> kann man ja schlussfolgern, dass f stetig ist. da sie
> streng monoton wächst. Wie kann ich nun darauf schließen,
> dass auch [mm]f^{-1}[/mm] stetig ist?
Jetzt bringst du zwei Dinge völlig durcheinander. Wir sind doch gerade an dem Weg über die Umkehrfunktion (siehe Antwort von Sax). Und da bist du fast fertig. DU MUSST JETZT BEGRÜNDEN, WESHALB DEINE GLEICHUNG FÜR JEDES Y GILT!
Das mit der Stetigkeit war ein ganz anderer Ansatz, aber das lassen wir mal so lange ruhen, bis der eingeschlagene Weg richtig zu Ende gedacht ist.
Gruß, Diophant
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Hey du
also die Surjektivität war der eine Teil der Aufgabe.
Da die Umkehrfunktion Area Sinus Hyperbolicus also existiert gibt es zu jedem y der Abbildmenge ein x [mm] \in [/mm] X
nun soll ich aber auch noch die Stetigkeit der Umkehrfunktion zeigen. Leider weiß ich nicht genau wie ich hier argumentieren soll. bzw. ob ich die Stetigkeit der Funktion f (die ja aufgrung ihrer strengen Monotonie stetig ist) benutzen darf. bzw. wie ich diese benutzen soll
LG
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Hallo,
> Hey du
> also die Surjektivität war der eine Teil der Aufgabe.
> Da die Umkehrfunktion Area Sinus Hyperbolicus also
> existiert gibt es zu jedem y der Abbildmenge ein x [mm]\in[/mm] X
Nein, wie oft soll ich es jetzt noch schreiben: das reicht noch nicht aus!
>
> nun soll ich aber auch noch die Stetigkeit der
> Umkehrfunktion zeigen. Leider weiß ich nicht genau wie ich
> hier argumentieren soll. bzw. ob ich die Stetigkeit der
> Funktion f (die ja aufgrung ihrer strengen Monotonie stetig
> ist) benutzen darf. bzw. wie ich diese benutzen soll
>
Wenn du das machen würdest, was man dir rät, dann wärst du auch hier schon fast fertig...
Gruß, Diophant
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Hey
aber ich habe doch genau das gemacht was Sax gesagt hat. Substituiton, P-q Formel und dann wieder resubstituieren. Somit erhalte ich 2 Ergebnisse, wovon nur das eine von mir genannte in Frage kommt. Was fehlt denn dann noch?
LG
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Hallo,
> Hey
> aber ich habe doch genau das gemacht was Sax gesagt hat.
Ich glaube, du hast da völlig falsche Vorstellungen. Wenn hier Antworten gegeben werden, dann sind das Anregungen, aber du kannst doch nicht ernsthaft den Anspruch erheben, dass wir dir hier Schritt für Schritt alles vorbeten?
> Substituiton, P-q Formel und dann wieder resubstituieren.
> Somit erhalte ich 2 Ergebnisse, wovon nur das eine von mir
> genannte in Frage kommt. Was fehlt denn dann noch?
Das hab ich jetzt schon oft genug geschrieben. Vielleicht überlegst du dir einfach mal, was du gerade zeigen möchtest bzw. was das Wort Surjektivität eigentlich bedeutet.
Gruß, Diophant
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Hey,
ich verstehe ich nicht so ganz was du meinst. Ich habe doch jetzt:
sinh(x)= 0,5* [mm] (e^{x}-e^{-x})
[/mm]
y= 0,5* [mm] (e^{x}-e^{-x})
[/mm]
2y [mm] =e^{x}-e^{-x}
[/mm]
2y= [mm] e^{x} [/mm] - [mm] 1/e^{x}
[/mm]
substituiere: [mm] e^{x}=z
[/mm]
2y= z- 1/z
2yz= [mm] z^2 [/mm] -1
[mm] 0=z^2 [/mm] -1 - 2yz
[mm] z_{1/2} [/mm] = y+/- [mm] \wurzel{y^2 +1}
[/mm]
Rücksubstitution:
[mm] e^{x} [/mm] = y+/- [mm] \wurzel{y^2 +1}
[/mm]
x= ln (y+/- [mm] \wurzel{y^2 +1})
[/mm]
da ln ((y - [mm] \wurzel{y^2 +1}) [/mm] nicht existiert kommt nur (y+ [mm] \wurzel{y^2 +1}) [/mm] in Frage
nun existiert also eine Umkehrfunktion die zeigt, dass es zu jedem y [mm] \in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X gibt. was fehlt denn da noch? das ist doch das was ich schon die ganze Zeit meine
LG
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Hallo,
> da ln ((y - [mm]\wurzel{y^2 +1})[/mm] nicht existiert kommt nur (y+
> [mm]\wurzel{y^2 +1})[/mm] in Frage
> nun existiert also eine Umkehrfunktion die zeigt, dass es
> zu jedem y [mm]\in[/mm] Y ein x [mm]\in[/mm] X gibt. was fehlt denn da noch?
Die Begründung, dass diese Umkehrfunktion zu jedem y existiert, insbeondere für negative y. Vielleicht ist das für dich offensichtlich, aber im Rahmen einer solchen Aufgabe gehört das dazu.
Wenn du diese Begründung hast, dann kannst du die Stetigkeit der Umkehrfunktion mit der Komposition stetiger Abbildungen begründen.
Gruß, Diophant
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Hey
okay vielen Dank
wegen dem Quadrat unter der Wurzel und wegen y < [mm] \wurzel{y^2 +1} [/mm] ist der Wert der logarithmiert wird stets positiv und da die Logarithmusfunktion nur für positive x existiert funktioniert dies ja. reicht dies als Begründung?
und warum genau ist die Funktion eine Komposition stetiger Funktionen? Also [mm] \wurzel{y^2+1} [/mm] ist ja stetig. und y auch. Aber muss ich das auch für die ln(x) Funktion beweisen?
LG
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Hallo,
> Hey
> okay vielen Dank
> wegen dem Quadrat unter der Wurzel und wegen y <
> [mm]\wurzel{y^2 +1}[/mm] ist der Wert der logarithmiert wird stets
> positiv und da die Logarithmusfunktion nur für positive x
> existiert funktioniert dies ja. reicht dies als
> Begründung?
Ja, jetzt ist es perfekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und warum genau ist die Funktion eine Komposition stetiger
> Funktionen? Also [mm]\wurzel{y^2+1}[/mm] ist ja stetig. und y auch.
> Aber muss ich das auch für die ln(x) Funktion beweisen?
>
Hier würde ich jetzt sagen, dass man die Stetigkeit des Logarithmus voraussetzen darf. Das sind aber so die Feinheiten, die du letztendlich selsbt entscheiden musst. Ich bin Hobby-Mathematiker, ich habe schon in meinem Leben das eine oder andere Analysis 1-Buch durchgearbeitet und gehe hier von einer üblichen Reihenfolge aus, in welcher der Stoff präsentiert wird. Das entbindet dich nicht von der Überlegung, ob das bei euch auch so ist.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Sa 25.01.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
ich danke dir vielmals für deine Hilfe und Geduld
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