Surjektivität von Abbildungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 31.10.2012 | | Autor: | LumaDE |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung f injektiv, surjektiv oder bijektiv ist! |
Hallo, ich bin gerade in meinem ersten Semester Bachelor Informatik und habe eine Frage zur Injektivität und Surjektivität.
Ich soll eine Funktion auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität untersuchen.
Die Funktion lautet dazu so:
[mm] f:\IZ\Rightarrow\IZ, [/mm] z [mm] \mapsto z^{2}+1
[/mm]
Meines Erachtens nach ist diese Funktion weder surjektiv, noch injektiv noch bijektiv.
Ich habe mir die Funktion einmal aufgemalt und gesehen, dass es für die gesamte Funktion keine durchgängige sur/in/bijektivität gibt.
Nimmt man z.B.
x=0, dann ist y=1 -> Es existiert mindestens und maximal eine Lösung, d.h. an dieser Stelle ist die Funktion surjektiv und injektiv, also bijektiv.
x=1, dann ist y1=-2 und y2=2 -> Hier existieren zwei Lösungen, also ist die Funktion an dieser Stelle surjektiv
An der Stelle y=3 beispielsweise existiert gar kein zugehöriger x-Wert, die Funktion ist hier also injektiv, da hier maximal eine Lösung existiert. (maximal eine ist hier für mich gar keine oder genau eine)
Ist es jetzt richtig zu sagen, dass wenn es gar keine der drei Eigenschaften ist, die sich einheitlich durch die Funktion ziehen, dass die Funktion weder injektiv, noch surjektiv, noch bijektiv ist?
Oder ist die Funktion alles drei gleichzeitig?
So wie ich das verstanden habe in der Vorlesung ist die Funktion nichts der drei Eigenschaften.
Liege ich da richtig?
Eine weitere Frage die nichts mit der o.g. Funktion zu tun hat:
Wenn injektiv bedeutet, es existiert maximal eine Lösung und surjektiv, es existiert mindestens eine, ist es mathematisch korrekt dann zu sagen, dass bijektiv so viel wie "es existiert genau eine Lösung (bzw. es existiert genau ein x-Wert zu dem y)?
Ich danke vielmals im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung f injektiv,
> surjektiv oder bijektiv ist!
>
> [mm]f:\IZ\Rightarrow\IZ,[/mm] z [mm]\mapsto z^{2}+1[/mm]
>
> Meines Erachtens nach ist diese Funktion weder surjektiv,
> noch injektiv noch bijektiv.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast recht.
> Ich habe mir die Funktion einmal aufgemalt und gesehen,
> dass es für die gesamte Funktion keine durchgängige
> sur/in/bijektivität gibt.
Ich ahne, was Du möglicherweise ausdrücken möchtest.
Ich sag' später noch etwas dazu.
>
> Nimmt man z.B.
> x=0, dann ist y=1 -> Es existiert mindestens und maximal
> eine Lösung, d.h. an dieser Stelle ist die Funktion
> surjektiv und injektiv, also bijektiv.
Nein. Injektivität/Surjektivität/Bijektivität ist eine Eigenschaft der Funktion, also des Komplettsets aus Definitionsbereich, Wertebereich und Zuordnungsvorschrift.
Es ist keine Eigenschaft, die eine Stelle haben kann.
>
> x=1, dann ist y1=-2 und y2=2 -> Hier existieren zwei
> Lösungen, also ist die Funktion an dieser Stelle
> surjektiv
Abgesehen davon, daß es "surjektiv an der Stelle" nicht gibt:
Für x=1 hat man f(x)=2 - da gibt es nichts zu deuteln.
Wahrscheinlich meinst Du, daß es für den Funktionswert f(x)=2 die Stellen [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1 [/mm] gibt, an welchen dieser Wert angenommen wird.
Hieran sieht man, daß die Funktion nicht injektiv ist,daß aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] nicht zwingend folgt, daß [mm] x_1=x_2.
[/mm]
>
> An der Stelle y=3 beispielsweise existiert gar kein
> zugehöriger x-Wert,
Ja.
Hieran sieht man, daß die Funktion nicht surjektiv ist, denn wenn die Funktion surjektiv ist, muß jeder Funktionswert des Wertebereiches mindestens einmal angenommen werden.
> Ist es jetzt richtig zu sagen, dass wenn es gar keine der
> drei Eigenschaften ist, die sich einheitlich durch die
> Funktion ziehen, dass die Funktion weder injektiv, noch
> surjektiv, noch bijektiv ist?
Wenn die Funktion injektiv ist, gehören zu verschiedenen x-Werten stets verschiedene Funktionswerte.
Wenn die Funktion surjektiv ist, wird jeder Wert aus dem Wertebereich mindestens einmal angenommen.
Wenn die Funktion bijektiv ist, wird jeder Wert des Wertebereiches genau einmal angenommen.
> Oder ist die Funktion alles drei gleichzeitig?
Nein, sie ist nichts von alledem.
>
> So wie ich das verstanden habe in der Vorlesung ist die
> Funktion nichts der drei Eigenschaften.
> Liege ich da richtig?
Ja.
Man könnte die Funktion aber so einschränken, daß sie injektiv/Surjektiv/bijektiv wird:
Wir betrachten die neue Funktion
[mm] f_1: \IN\to \IZ
[/mm]
[mm] f_1(x):=x^2+1
[/mm]
Diese Funktion ist injektiv.
Die Funktion
[mm] f_2:\IZ \to \{1,2,5,10,17,26,37, 50, ...\}
[/mm]
[mm] f_2(x)=x^2+1 [/mm]
ist surjektiv.
Die Funktion
[mm] f_2:\IN \to \{1,2,5,10,17,26,37, 50, ...\}
[/mm]
[mm] f_2(x)=x^2+1
[/mm]
ist bijektiv.
>
> Eine weitere Frage die nichts mit der o.g. Funktion zu tun
> hat:
> Wenn injektiv bedeutet, es existiert maximal eine Lösung
Zu jedem y des Wertebereiches gibt es höchstens ein x des Def.bereiches, welches darauf abgebildet wird.
> und surjektiv, es existiert mindestens eine,
Zu jedem y des Wertebereiches gibt es mindestens ein x des Def.bereiches, welches darauf abgebildet wird.
>ist es
> mathematisch korrekt dann zu sagen, dass bijektiv so viel
> wie "es existiert genau eine Lösung (bzw. es existiert
> genau ein x-Wert zu dem y)?
Ja. Bei bijektiven Funktionen gibt es zu jedem y des Wertebereiches genau ein x des Def.bereiches, welches auf dieses abgebildet wird.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 31.10.2012 | | Autor: | LumaDE |
Hallo Angela,
ich möchte dir erst einmal für deine sehr ausführliche Antwort danken und freue mich, dass du neben meinen Fragen auch auf Teilaussagen meiner Frage eingegangen bist. Damit wurden alle meine Fragen beantwortet :)
Am wichtigsten war für mich die Erkenntnis, dass die In/Sur/Bijektivität sich immer auf das Komplettset der Funktion bezieht. Sobald es zwei verschiedene Eigenschaften hat, ist also keine der Eigenschaften mehr korrekt für die gesamte Funktion. Einzelne Stellen der Funktion zählen also nicht.
Allerdings muss ich sagen, dass ich mir meinen Wissensstand teilweise aus Beispielen erarbeitet habe.
Daher habe ich noch einmal zwei Fragen zu der Symbolik/Schreibweise:
Was genau bedeutet dieser Pfeil?
[mm] \mapsto
[/mm]
Ich habe neben der Funktion das Ganze noch einmal als Diagramm gehabt.
Daher bin ich davon ausgegangen, dass
z [mm] \mapsto z^{2} [/mm] soviel bedeutet wie f(x) = [mm] z^{2}
[/mm]
Liege ich da in der Annahme richtig?
Und noch eine Frage, die in den Folgeaufgaben kommt, mir aber keine Probleme bereitet:
Wie genau heißt dieses Zeichen?
[mm] \circ
[/mm]
Mein Professor hat dies immer "Klingel" genannt, wahrscheinlich weil es in etwa so aussieht. Ich weiß, dass man mit diesem [mm] \circ [/mm] eine Korrespondenz bildet. Allerdings habe ich mit Klingel im Zusammenhang von Mathematik nichts gefunden. Gibt es da einen einheitlichen Begriff zu?
Ich danke dir im Voraus!
Liebe Grüße,
Lukas
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> Damit
> wurden alle meine Fragen beantwortet :)
Hallo,
das ist ja schön!
>
> Am wichtigsten war für mich die Erkenntnis, dass die
> In/Sur/Bijektivität sich immer auf das Komplettset der
> Funktion bezieht. Sobald es zwei verschiedene
> Eigenschaften hat, ist also keine der Eigenschaften mehr
> korrekt für die gesamte Funktion. Einzelne Stellen der
> Funktion zählen also nicht.
Hm. Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
>
> Allerdings muss ich sagen, dass ich mir meinen Wissensstand
> teilweise aus Beispielen erarbeitet habe.
Naja, das ist ja kein Fehler, sofern Du auch die Definitionen kennst und sie dann an Deinen Beispielen prüfst bzw. anwendest.
> Daher habe ich noch einmal zwei Fragen zu der
> Symbolik/Schreibweise:
>
> Was genau bedeutet dieser Pfeil?
> [mm]\mapsto[/mm]
Er bedeutet: "wird abgebildet auf".
> Ich habe neben der Funktion das Ganze noch einmal als
> Diagramm gehabt.
> Daher bin ich davon ausgegangen, dass
> z [mm]\mapsto z^{2}[/mm] soviel bedeutet wie f(x) = [mm]z^{2}[/mm]
Wie [mm] f(z)=z^2.
[/mm]
> Liege ich da in der Annahme richtig?
Ja.
>
> Und noch eine Frage, die in den Folgeaufgaben kommt, mir
> aber keine Probleme bereitet:
> Wie genau heißt dieses Zeichen?
> [mm]\circ[/mm]
> Mein Professor hat dies immer "Klingel" genannt,
> wahrscheinlich weil es in etwa so aussieht. Ich weiß, dass
> man mit diesem [mm]\circ[/mm] eine Korrespondenz bildet. Allerdings
> habe ich mit Klingel im Zusammenhang von Mathematik nichts
> gefunden. Gibt es da einen einheitlichen Begriff zu?
Na, nach "Klingel" wirst Du in dem Zusammenhang eher vergeblich suchen...
(Wirklich Klingel? Oder Kringel?
Bei uns hieß es immer "kula" oder "kuller". Findet man sicher auch nicht.)
Man sagt normalerweise "verknüpft mit" oder, vor allem, wenn Funktionen so verbunden werden: "nach".
[mm] g\circ [/mm] f: g nach f,
denn
[mm] (g\circ [/mm] f)(x):=g(f(x)).
Es wird also f(x) ausgerechnet und darauf dann die Funktion g losgelassen.
LG Angela
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Das Zeichen $ [mm] \circ [/mm] $ steht stellvertretend für eine Verknüpfung. So wie du einen Buchstaben als Variablenbezeichnung für eine beliebige Zahl nimmst, damit du allgemeine Aussagen über Zahlen machen kannst (z.B. a*b = b*a), kannst du das Zeichen $ [mm] \circ [/mm] $ benutzen, um allgemeine Aussagen über Verknüpfungen zu machen. Beispiel:
Eine Menge M mit einer Verknüpfung $ [mm] \circ [/mm] $ heißt Gruppe, wenn ...
Wenn du nun [mm] \IZ [/mm] mit der Addition nimmst oder [mm] \IQ^{\ne0} [/mm] mit der Multiplikation, findest du die selben Gruppeneigenschaften.
Wie Angela schon erwähnte, wird das Zeichen speziell beim Hintereinanderschalten von Funktionen benutzt, also f(g(x)=(f$ [mm] \circ [/mm] $g)(x).
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