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Surjektivität zeigen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:07 Sa 25.06.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Hier schon mal die erste meiner neuen Aufgaben...

Es seien [mm] U\subset\IC [/mm] ein beschränktes Gebiet, [mm] D:=B_1(0) [/mm] die Einheitskugel in [mm] \IC, [/mm] und f eine nicht-konstante holomorphe Funktion von U nach D. Nimm an, dass f so zu einer stetigen Funktion [mm] \overline{f}:\overline{U}\to\overline{D} [/mm] auf den jeweiligen Abschlüssen fortgesetzt werden kann, dass [mm] \partial{U} [/mm] auf den Einheitskreis abgebildet wird. Zeige, dass dann f surjektiv ist.

Kann mir jemand sagen, wie ich das machen muss?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

        
Bezug
Surjektivität zeigen: Antwortversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 26.06.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Ich hoffe, das meine Argumentation so stimmt, aber ich werde mir immer unsicherer bei diesen Aufgaben. Was war eigentlich mit meiner letzten Lösung? Hattest du sie noch verstanden? Ich würde mich eventuell über etwas Feedback freuen. :-)

Wäre $f: U [mm] \to [/mm] D$ nicht surjektiv, dann gäbe es ein $a [mm] \in \partial (\bar{D} \setminus f(\bar{U})) \cap [/mm] D$.

Wir betrachten die Funktion

$g(z)= [mm] \frac{1}{f(z)-a}$. [/mm]

Nach Voraussetzung ist $g:U [mm] \to [/mm] D$ holomorph und stetig auf [mm] $\bar{U}$. [/mm] Nach dem Maximumprinzip für beschränkte Gebiete müsste $g$ sein Maximum auf [mm] $\partial [/mm] U$ annehmen. Nach Voraussetzung gilt aber für alle $z [mm] \in \partial [/mm] U$: $|f(z)|=1$, also:

$|g(z)| = [mm] \frac{1}{|f(z)-a|} \le \frac{1}{1-|a|} [/mm] < [mm] \infty$. [/mm]

Andererseits gibt es nach Wahl von $a$ eine Folge [mm] $(z_n)_{n \in \IN}$ [/mm] aus [mm] $\bar{D}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n)=a$, [/mm] also:

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} |g(z_n)| [/mm] = + [mm] \infty$, [/mm]

Widerspruch.

Also muss $f$ surjektiv sein.

Ich sehe zwar keinen Fehler, aber irgendwie bin ich verunsichert. Naja... ;-)

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Surjektivität zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 So 26.06.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
Danke für die Antwort - ging ja super schnell diesmal. :-)

> Ich hoffe, das meine Argumentation so stimmt, aber ich
> werde mir immer unsicherer bei diesen Aufgaben. Was war
> eigentlich mit meiner letzten Lösung? Hattest du sie noch
> verstanden? Ich würde mich eventuell über etwas Feedback
> freuen. :-)

Naja, manchmal fällt dir ja nach ein paar Tagen ein, was du falsch gemacht hast oder so - und diesmal reicht die Zeit dafür ja... ;-)
Letztes Mal die Aufgabe hätte ich beinahe vergessen, hab sie dann, als ich schon recht müde war, einfach abgeschrieben. Wollte sie mir später eigentlich nochmal genau angucken und ein paar Sachen nachfragen, aber irgendwie fehlt mir dazu leider die Motivation... Deswegen hattest du bisher keine Rückmeldung bekommen - [sorry]. Liest du denn auch noch alle Rückmeldungen? Ich nur noch sehr selten, weil ich ja keine Mails mehr bekomme... Und da weiß ich dann gar nicht mehr, wo ich mal ne Frage beantwortet habe...

> Wäre [mm]f: U \to D[/mm] nicht holomorph, dann gäbe es ein [mm]a \in \partial (\bar{D} \setminus f(\bar{U})) \cap D[/mm].

Also, ich verstehe schon nicht, wieso du damit anfängst, dass f nicht holomorph wäre. Es ist ja in der Aufgabenstellung gesagt, dass f holomorph ist, und ich weiß auch nicht, wie man auf die Idee kommt, die Sujektivität mit der Holomorphie zu beweisen... Und ich verstehe auch leider nicht, wieso es dann solch ein a geben muss. [haee]
  
> Wir betrachten die Funktion
>  
> [mm]g(z)= \frac{1}{f(z)-a}[/mm].
>  
> Nach Voraussetzung ist [mm]g:U \to D[/mm] holomorph und stetig auf
> [mm]\bar{U}[/mm]. Nach dem Maximumprinzip für beschränkte Gebiete
> müsste [mm]g[/mm] sein Maximum auf [mm]\partial U[/mm] annehmen. Nach
> Voraussetzung gilt aber für alle [mm]z \in \partial U[/mm]:
> [mm]|f(z)|=1[/mm], also:

Nach welcher Voraussetzung? In der Aufgabenstellung ist ja von keinem g die Rede - meinst du, nach "Konstruktion"?
Und dieses Maximumprinzip - heißt das nur so oder gibt es dafür noch einen anderen Namen?
  
> [mm]|g(z)| = \frac{1}{|f(z)-a|} \le \frac{1}{1-a} < \infty[/mm].
>  
> Andererseits gibt es nach Wahl von [mm]a[/mm] eine Folge [mm](z_n)_{n \in \IN}[/mm]
> aus [mm]\bar{D}[/mm] mit [mm]\lim\limits_{n \to \infty} f(z_n)=a[/mm], also:
>  
> [mm]\lim\limits_{n \to \infty} |g(z_n)| = + \infty[/mm],
>  
> Widerspruch.
>  
> Also muss [mm]f[/mm] surjektiv sein.

Das sehe ich im Moment noch nicht, aber vielleicht wird es ja klar, wenn ich die anderen Sachen verstanden habe.
  
> Ich sehe zwar keinen Fehler, aber irgendwie bin ich
> verunsichert. Naja... ;-)

Macht nichts, bestimmt ist wenigstens etwas richtig. :-)

Viele Grüße
Christiane
[winken]

P.S.: Ach ja, und bei der anderen Aufgabe hattest du geschrieben, dass es vielleicht zu knapp ist. Aber unser Tutor meinte letztes Mal schon, wir wären ja schon im 4. Semester und müssten nicht mehr alles so genau aufschreiben (da war wohl irgendwas, was wir alle extra hingeschrieben hatten, was wir aber gar nicht hätten machen brauchen). Also ich denke schon, dass es gereicht hat - aber morgen werde ich's wissen.
Bezug
                        
Bezug
Surjektivität zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Mo 27.06.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

> Deswegen
> hattest du bisher keine Rückmeldung bekommen - [sorry].

[ok]

> Liest du denn auch noch alle Rückmeldungen? Ich nur noch
> sehr selten, weil ich ja keine Mails mehr bekomme... Und da
> weiß ich dann gar nicht mehr, wo ich mal ne Frage
> beantwortet habe...

Ja, ich lese alle Rückmeldungen. Ich lese sogar fast alle Stränge im Matheraum komplett durch. Ich gehe immer auf "Aktive Diskussionen", dort kann man, wenn es denn angezeigt wird, alle Stränge der letzten 24 Stunden betrachten und sieht schnell, wo man beteiligt ist/war.
  
> > Wäre [mm]f: U \to D[/mm] nicht holomorph, dann gäbe es ein [mm]a \in \partial (\bar{D} \setminus f(\bar{U})) \cap D[/mm].
>  
> Also, ich verstehe schon nicht, wieso du damit anfängst,
> dass f nicht holomorph wäre. Es ist ja in der
> Aufgabenstellung gesagt, dass f holomorph ist, und ich weiß
> auch nicht, wie man auf die Idee kommt, die Sujektivität
> mit der Holomorphie zu beweisen... Und ich verstehe auch
> leider nicht, wieso es dann solch ein a geben muss. [haee]

Sorry, ich meinte "surjektiv", nicht "holomorph". Schreibfehler! [bonk] Und dann ist ja klar, dass es ein solches $a$ geben muss, oder? Mindestes ein Punkt im Inneren wird nicht getroffen und dann muss es auch Punkte im Inneren geben, die zugleich auf dem Rand der nicht getroffenen Punkte liegen.

> Nach welcher Voraussetzung? In der Aufgabenstellung ist ja
> von keinem g die Rede - meinst du, nach "Konstruktion"?

Naja, ich meinte nach der Voraussetzung, dass $f$ holomorph ist etc. Vielleicht solltest du besser schreiben: "nach Annahme", denn diese Funktion ist ja nur deswegen holomorph, weil der Nenner nicht $0$ werden kann. Du könntest aber auch schreiben: "Nach Voraussetzung und der obigen Annahme..."

>  Und dieses Maximumprinzip - heißt das nur so oder gibt es
> dafür noch einen anderen Namen?

Nein, das heißt so. Hattet ihr es etwa noch nicht? Dann musst du die Aufgabe völlig anderes lösen oder vorher das Maximumprinzip beweisen (der Beweis ist einfach, wenn man z.B. den Satz von der Gebietstreue kennt; er steht in jedem Funktionentheorie-Lehrbuch).
    
Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                                
Bezug
Surjektivität zeigen: Danke. :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:56 Mo 27.06.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
> > Deswegen
> > hattest du bisher keine Rückmeldung bekommen - [sorry].
>
> [ok]

Übrigens habe ich volle Punktzahl dafür bekommen! :-) Aber unser Tutor scheint von den Aufgaben auch nicht allzu viel zu halten. Die Aufgaben mit dem Polygonzug da meinte er: Hätte man da etwas bei lernen können? ;-)

Ich glaub, ich hab' jetzt alles einigermaßen verstanden. Danke für die Erklärungen.

> >  Und dieses Maximumprinzip - heißt das nur so oder gibt es

> > dafür noch einen anderen Namen?
>  
> Nein, das heißt so. Hattet ihr es etwa noch nicht? Dann
> musst du die Aufgabe völlig anderes lösen oder vorher das
> Maximumprinzip beweisen (der Beweis ist einfach, wenn man
> z.B. den Satz von der Gebietstreue kennt; er steht in jedem
> Funktionentheorie-Lehrbuch).

Doch, wir hatten es wohl. Ich hatte das Wort auch schon öfter gehört, dachte nur, dass ich da vielleicht vergebens suche, wenn das nur die umgangssprachliche Version davon ist... Und jetzt musste ich ganz schön weit zurückblättern um es zu finden, so lange war es schon her, aber ich hab's gefunden. :-)
Und ein gutes Funktionentheorie-Buch: ich habe hier: "Funktionentheorie 1, Remmert, Schumacher, Springer Verlag". Ich mag diese gelben Bücher vom Springer-Verlag, aber wahrscheinlich nur, weil die meisten noch halbwegs ordentlich aussehen und sie so schön gelb sind. Denn irgendwie finde ich in diesem Buch nie irgendwas Gescheites...

Viele Grüße
Christiane
[cap]

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