Surjektivität zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f(r,\phi,\theta)=(rsin(\phi)cos(\theta),rsin(\phi)sin(\theta),rcos(\phi))
[/mm]
Zeige: [mm] f:[0,\infty)\times [0,\pi]\times [0,2\pi)\to \IR^{3} [/mm] ist surjektiv |
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich die Surjektivität zeigen könnte. Ich habe zuerst das Differential gebildet und mir die Funkionaldeterminante angesehen, daraus kann ich aber nicht sehr viel ablesen, außer das global keine Umkehrfunktion existieren kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Mo 25.07.2011 | | Autor: | wauwau |
warum löst du nicht einfach die Gleichungen
[mm] a=r.sin(\varphi)cos(\vartheta)
[/mm]
[mm] b=r.sin(\varphi)sin(\vartheta)
[/mm]
[mm] c=r.cos(\varphi)
[/mm]
[mm] (\vartheta [/mm] = [mm] arctan(\frac{a}{b}),
[/mm]
[mm] r=\frac{c\wurzel{a^2+b^2}}{a}
[/mm]
[mm] \varphi=arccos(\frac{a}{\wurzel{a^2+b^2}}) [/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe)
nach [mm] \varphi, [/mm] r, [mm] \vartheta [/mm] auf und zeigst, dass dies für alle [mm] (a,b,c)\in \IR^3 [/mm] definiert ist?
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Danke für deine Antwort. Ich habe es nachgerechnet, und glaube das du einen kleinen Rechenfehler gemacht hast.
[mm] \theta=arctan(\bruch{b}{a}) [/mm] und [mm] \phi [/mm] kann man sich auch durch das Einsetzen von c in die erste Gleichung errechnen.
[mm] \phi=arcsin(\bruch{a}{c})
[/mm]
[mm] (r,\phi,\theta) [/mm] sind jetzt quasi die Polarkoordinaten für (a,b,c) oder?
Dies ist definiert für alle [mm] (a,b,c)\in\IR [/mm] außer in 0.
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Also ich habe jetzt im Internet nach Kugelkoordinaten gesucht, und dann komme ich auf folgende Lösungen:
[mm] r=r(a,b,c)=\wurzel{a^2+b^2+c^2}
[/mm]
[mm] \phi=\phi(a,b,c)=arccos(\bruch{c}{\wurzel{a^2+b^2+c^2}})
[/mm]
[mm] \theta=\theta(a,b,c)=arctan(\bruch{b}{a}) [/mm] für b>0
Die Funktion ist lokal umkehrbar auf [mm] (0,\infty)\times (0,\pi)\times [0,2\pi) [/mm] da die Funktionaldeterminante [mm] r^{2}sin(\phi) [/mm] ist.
Die Umkehrfunktion lautet [mm] f^{-1}=(r(a,b,c),\phi(a,b,c),\theta(a,b,c)).
[/mm]
Mir ist nur noch nicht ganz klar warum die Surjektivität unmittelbar aus der Transformation der Polar- in die Kartesischen Koordinaten folgt?
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> [mm]\theta=arctan(\bruch{b}{a})[/mm] und [mm]\phi[/mm] kann man sich auch
> durch das Einsetzen von c in die erste Gleichung
> errechnen.
>
> [mm]\phi=arcsin(\bruch{a}{c})[/mm]
>
> [mm](r,\phi,\theta)[/mm] sind jetzt quasi die Polarkoordinaten für
> (a,b,c) oder?
>
> Dies ist definiert für alle [mm](a,b,c)\in\IR[/mm] außer in 0.
Hallo Tsetsefliege,
natürlich handelt es sich "nur" um die Umrechnung zwischen
kartesischen und Kugelkoordinaten.
Bei den Formeln
1.) $ [mm] r=r(a,b,c)=\wurzel{a^2+b^2+c^2} [/mm] $
2.) $ [mm] \phi=\phi(a,b,c)=arccos\left(\bruch{c}{\wurzel{a^2+b^2+c^2}}\right) [/mm] $
3.) $ [mm] \theta=\theta(a,b,c)=arctan\left(\bruch{b}{a}\right) [/mm] $ für b>0
sind die ersten zwei problemlos. Man muss nur aufweisen,
dass sie für alle [mm] (a,b,c)\in\IR^3 [/mm] tatsächlich definiert sind
(sowohl die Wurzelfunktion als auch arccos sind ja nicht
für beliebige Argumente definiert).
Die dritte Formel funktioniert aber für a=0 nicht, und die
Frage ist noch, was man im Fall [mm] b\le0 [/mm] machen soll. Da ist
also noch etwas zu erledigen. Die Anweisung, wie man bei
gegebenen a und b den richtigen [mm] \theta- [/mm] Wert berechnet, muss
nicht unbedingt aus einer einzigen Formel bestehen, sondern
kann auch eine Handlungsanweisung mit mehreren zu
unterscheidenden Fällen sein.
LG Al-Chw.
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