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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Joan2 |
| Aufgabe | | Bestimme die Gruppen G der Ordnung 6. |
Hallo,
zu der obigen Aufgabe habe ich mir gedacht:
|G| = 6 = 2*3
sei [mm] s_i [/mm] die Anzahl der Sylow-i-Gruppen.
[mm] s_2 [/mm] = 1 mod 2 und [mm] s_2|3 \Rightarrow s_2 [/mm] = 1,3
[mm] s_3 [/mm] = 1 mod 3 und [mm] s_3|2 \Rightarrow s_3 [/mm] = 1
wenn [mm] s_3 [/mm] = 1, dann ist die Sylow-3-Gruppe ein Normalteiler der Gruppe G, genauso wenn [mm] s_2 [/mm] = 1, d.h. wir haben [mm] \IZ_{2} \times \IZ_{3}.
[/mm]
Aber was gilt, wenn ich [mm] s_3 [/mm] = 3 betrachte? Ebenfalls, dass es einen Normalteiler gibt, weil sie isomorph zueinander sind??
Gruß,
Joan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Bestimme die Gruppen G der Ordnung 6.
> Hallo,
> zu der obigen Aufgabe habe ich mir gedacht:
>
> |G| = 6 = 2*3
>
> sei [mm]s_i[/mm] die Anzahl der Sylow-i-Gruppen.
> [mm]s_2[/mm] = 1 mod 2 und [mm]s_2|3 \Rightarrow s_2[/mm] = 1,3
> [mm]s_3[/mm] = 1 mod 3 und [mm]s_3|2 \Rightarrow s_3[/mm] = 1
>
> wenn [mm]s_3[/mm] = 1, dann ist die Sylow-3-Gruppe ein Normalteiler
> der Gruppe G, genauso wenn [mm]s_2[/mm] = 1, d.h. wir haben [mm]\IZ_{2} \times \IZ_{3}.[/mm]
>
Genau.
> Aber was gilt, wenn ich [mm]s_3[/mm] = 3 betrachte? Ebenfalls, dass
> es einen Normalteiler gibt, weil sie isomorph zueinander
> sind??
Du meinst sicher [mm] s_2 [/mm] = 3. Nun dann ist die einzige 3-Sylowgruppe natürlich immernoch ein Normalteiler, und G ist ein semidirektes Produkt,
[mm]G \cong \rtimes [/mm]
Wobei <h> die 3-Sylowgruppe, und <a> eine der 2-Sylowgruppen ist. Hierbei operiert <a> auf <h> durch Konjugation. Man muss bloß die Wirkung von a auf h ermittlen, und sieht recht schnell dass es da bloß eine Möglichkeit gibt.
Beste Grüße,
Berieux
>
> Gruß,
> Joan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Joan2 |
Danke für die Anwort. Verstehe es jetzt schon etwas besser :)
Viele Grüße
Joan
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