Sym. Matrix -> Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Do 04.02.2010 | | Autor: | XFactor |
Hi Leute,
da dies zugleich mein erster Beitrag hier ist, möchte ich erstmal Hallo sagen.
Nun zu meiner Frage. Ich hänge an zwei Aufgaben mit Matrizen. Und zwar soll ich von folgenden beiden Matrizen die Eigenwerte bestimmen. Das ist ja normalerweise auch kein Problem. Aber bei den Matrizen klappt das irgendwie nicht, wenn ich nach der Regel von Sarrus vorgehe.
Das sind die beiden Matrizen:
[mm] \pmat{ 4 & 6 & 1 \\ 6 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & -4 } [/mm]
und diese
[mm] \pmat{ 8 & -4 & 0 \\ -4 & 8 & -4 \\ 0 & -4 & 8 } [/mm]
Wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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{-4, -2, 10}
für die erste
[mm] \{8-\sqrt{32} , 8 , 8+\sqrt{32} \}
[/mm]
für die 2. Matrix.
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> Hi Leute,
>
> da dies zugleich mein erster Beitrag hier ist, möchte ich
> erstmal Hallo sagen.
>
> Nun zu meiner Frage. Ich hänge an zwei Aufgaben mit
> Matrizen. Und zwar soll ich von folgenden beiden Matrizen
> die Eigenwerte bestimmen. Das ist ja normalerweise auch
> kein Problem. Aber bei den Matrizen klappt das irgendwie
> nicht, wenn ich nach der Regel von Sarrus vorgehe.
> Das sind die beiden Matrizen:
> [mm]\pmat{ 4 & 6 & 1 \\ 6 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & -4 }[/mm]
> und diese
> [mm]\pmat{ 8 & -4 & 0 \\ -4 & 8 & -4 \\ 0 & -4 & 8 }[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei der ersten Matrix wäre es geschickter, nach der letzten Zeile zu entwickeln.
Konkret helfen können wir Dir besser, wenn wir Deine Rechnung sehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:53 Do 04.02.2010 | | Autor: | XFactor |
Meine Berechnung würde sich auf die Regel von Sarrus und danach auf das Horner-Schema belaufen. Aber damit komme ich auf keinen grünen Zweig. Wie seit ihr denn auf das Ergebnis gekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Do 04.02.2010 | | Autor: | Herby |
Moin XFactor,
> Meine Berechnung würde sich auf die Regel von Sarrus und
> danach auf das Horner-Schema belaufen. Aber damit komme ich
> auf keinen grünen Zweig. Wie seit ihr denn auf das
> Ergebnis gekommen?
so wie du!
Zeig' uns deine Rechnungen und wir schauen dann gemeinsam wat denn daneben gegangen war, gelle.
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Di 09.02.2010 | | Autor: | XFactor |
Bei der ersten Matrix bekomme ich folgendes raus:
[mm] 64-16\lambda-16\lambda+4\lambda^2-16\lambda+4\lambda^2+4\lambda^2-\lambda^3+144+36\lambda
[/mm]
zusammengefasst ergibt dies -> [mm] \lambda^3-12\lambda^2+12\lambda-208
[/mm]
Bei der zweiten Matrix lautet mein Rechenweg wie folgt:
[mm] 512-64\lambda-64\lambda+8\lambda^2-64\lambda+8\lambda^2+8\lambda^2-\lambda^3-128+32\lambda-128
[/mm]
zusammengefasst ergibt dies -> [mm] \lambda^3-24\lambda^2-160\lambda-256
[/mm]
Mit beiden char.Polynomen bekomme ich keine Nullstellen heraus. Wäre super, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:49 Di 09.02.2010 | | Autor: | XFactor |
So kann man sich täuschen ;).
Warum stimmt das denn nicht? Habe es ganz normal nach "Schema F" berechnet ((a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)-(a31*a22*a13)-(a32*a23*a11)-(a31*a21*a12))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Di 09.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Bei der ersten Matrix bekomme ich folgendes raus:
>
> [mm]64-16\lambda-16\lambda+4\lambda^2-16\lambda+4\lambda^2+4\lambda^2-\lambda^3+144+36\lambda[/mm]
> zusammengefasst ergibt dies ->
> [mm]\lambda^3-12\lambda^2+12\lambda-208[/mm]
du musst dich hier mit den Minüssen verhauen haben (edit: so wie ich gerade), denn richtig wäre nach Sarrus:
[mm] -\lambda^3\red{+}4\lambda^2+16\lambda-64-[-144-36\lambda]
[/mm]
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Di 09.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> So kann man sich täuschen ;)
ja
> Warum stimmt das denn nicht? Habe es ganz normal nach
> "Schema F" berechnet
> ((a11*a22*a33)+(a12*a23*a31)+(a13*a21*a32)-(a31*a22*a13)-(a32*a23*a11)-(a31*a21*a12))
das Schema stimmt auch so, es war sicher nur ein Rechenfehler.
LG
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 09.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Bei der ersten Matrix bekomme ich folgendes raus:
>
> [mm]64-16\lambda-16\lambda+4\lambda^2-16\lambda+4\lambda^2+4\lambda^2-\lambda^3+144+36\lambda[/mm]
> zusammengefasst ergibt dies ->
> [mm]\lambda^3-12\lambda^2+12\lambda-208[/mm]
>
> Bei der zweiten Matrix lautet mein Rechenweg wie folgt:
>
> [mm]512-64\lambda-64\lambda+8\lambda^2-64\lambda+8\lambda^2+8\lambda^2-\lambda^3-128+32\lambda-128[/mm]
> zusammengefasst ergibt dies ->
> [mm]\lambda^3-24\lambda^2-160\lambda-256[/mm]
Einen hab ich schon 
[mm] \red{-}\lambda^3\red{+}24\lambda^2-160\lambda\red{+}256
[/mm]
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Di 09.02.2010 | | Autor: | XFactor |
Kann man die Vorzeichen vom char. Polynom nicht einfach komplett invertieren? Weil du hast alle, bis auf das VZ von [mm] \lambda [/mm] invertiert.
Bin gerade dabei es nochmal auszurechnen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 09.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Kann man die Vorzeichen vom char. Polynom nicht einfach
> komplett invertieren? Weil du hast alle, bis auf das VZ von
> [mm]\lambda[/mm] invertiert.
es ist [mm] $det(A-\lambda I)=det(\lambda [/mm] I-A)$
edit: das hatte ich wohl falsch in Erinnerung - lediglich die Eigenwerte sind gleich.
Ob du deine Vorzeichen so herum oder anders machst, spielt für die Eigenwerte keine Rolle - aber in deiner Rechnung sind Fehler passiert.
> Bin gerade dabei es nochmal auszurechnen
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 09.02.2010 | | Autor: | XFactor |
Habe bei der ersten Matrix jetzt:
[mm] -\lambda^3+4\lambda^2+52\lambda+80
[/mm]
raus. Du hast dich bei der 4 beim VZ vertan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 09.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Habe bei der ersten Matrix jetzt:
>
> [mm]-\lambda^3+4\lambda^2+52\lambda+80[/mm]
>
> raus. Du hast dich bei der 4 beim VZ vertan.
ja, habe ich mich - Tippfehler ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Lg
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mi 10.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Kann man die Vorzeichen vom char. Polynom nicht einfach
> > komplett invertieren? Weil du hast alle, bis auf das VZ von
> > [mm]\lambda[/mm] invertiert.
>
> es ist [mm]det(A-\lambda I)=det(\lambda I-A)[/mm]
Das stimmt aber nicht:
[mm]det(A-\lambda I)=(-1)^n*det(\lambda I-A)[/mm]
FRED
>
> Ob du deine Vorzeichen so herum oder anders machst, spielt
> keine Rolle - aber in deiner Rechnung sind Fehler passiert.
>
> > Bin gerade dabei es nochmal auszurechnen
>
>
>
> LG
> Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > Kann man die Vorzeichen vom char. Polynom nicht einfach
> > > komplett invertieren? Weil du hast alle, bis auf das VZ von
> > > [mm]\lambda[/mm] invertiert.
> >
> > es ist [mm]det(A-\lambda I)=det(\lambda I-A)[/mm]
>
> Das stimmt aber nicht:
>
> [mm] det(A-\lambda I)=(-1)^n*det(\lambda [/mm] I-A)
>
> FRED
>
Danke für die Korrektur. Ich hatte dann bislang etwas Falsches gewusst, weil es mir mal jemand sagte und ich es nie nachgeprüft hatte - bis jetzt!
LG
Herby
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> Hi Leute,
>
> da dies zugleich mein erster Beitrag hier ist, möchte ich
> erstmal Hallo sagen.
>
> Nun zu meiner Frage. Ich hänge an zwei Aufgaben mit
> Matrizen. Und zwar soll ich von folgenden beiden Matrizen
> die Eigenwerte bestimmen. Das ist ja normalerweise auch
> kein Problem. Aber bei den Matrizen klappt das irgendwie
> nicht, wenn ich nach der Regel von Sarrus vorgehe.
> Das sind die beiden Matrizen:
> [mm]\pmat{ 4 & 6 & 1 \\ 6 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & -4 }[/mm]
> und diese
> [mm]\pmat{ 8 & -4 & 0 \\ -4 & 8 & -4 \\ 0 & -4 & 8 }[/mm]
>
> Wäre super wenn ihr mir helfen könntet.
Hallo,
wenn Du Eigenwerte berechnen möchtest, ist es extrem ungeschickt, die Klammern, die man beim Berechnen der Determinante hat, schnell aufzulösen.
Mach das erst, wenn sich überhaupt nichts anderes mehr machen läßt.
Erstens verrechnet man sich leicht, und zweitens erschwert man sich selbst meist die Nullstellenbestimmung - jedenfalls in Klausur- und Übungsaufgaben.
Ich hatte Dir zur ersten Matrix schon gesagt, daß die Entwicklung nach der letzten Zeile am günstigsten ist. Schau:
[mm] det\pmat{ 4-x & 6 & 1 \\ 6 & 4-x & 7 \\ 0 & 0 & -4-x } [/mm] = [mm] (-4-x)*det\pmat{ 4-x & 6 \\ 6 & 4-x}=(x+4)[(4-x)^2-36)=(x+4)(x^2-16x-20)= [/mm] (x+4)(x+2)(x-10)
Dadurch, daß (x+4) von Anfang an ausgeklammert ist, brauchst Du nämlich nur die Nullstelle eines quadratischen Polynoms zu berechnen.
Aber auch, wenn Du mit Sarrus rechnen willst, bewährt sich das Beibehalten der Klammern:
[mm] det\pmat{ 4-x & 6 & 1 \\ 6 & 4-x & 7 \\ 0 & 0 & -4-x } =(4-x)^2(-4-x) [/mm] - 36(-4-x)= (-4-x)( [mm] (4-x)^2-36)=-(x+4)( x^2-16x-20) [/mm] = s.o.
Wenn Du die zweite Determinante mit Sarruns berechnest und nicht ausklammerst, kommst Du ebenfalls schnell zum Ziel:
[mm] det\pmat{ 8-x & -4 & 0 \\ -4 & 8-x & -4 \\ 0 & -4 & 8-x }= (8-x)^3 [/mm] -16(8-x) - 16(8-x) [mm] =(8-x)[(8-x)^2-32)=(8-x)(x^2-16x [/mm] +32),
und auch hier sind nur noch die Nullstellen des quadratischen Polynoms zu bestimmen, was eine leichte Übung ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mi 10.02.2010 | | Autor: | XFactor |
Vielen Dank für den Tip Angela.
Kann ich bei dieser Matrix hier z.B. auch einfach nach einer Zeile entwickeln oder einen Wert ausklammern? Oder geht das nur bei Matrizen, die die gleichen Werte auf der Hauptdiagonalen haben?
Würde es bei dieser hier auch klappen?
[mm] \pmat{ 7 & -4 & 8 \\ 2 & 1 & 2 \\ -5 & 4 & -6 }
[/mm]
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> Vielen Dank für den Tip Angela.
>
> Kann ich bei dieser Matrix hier z.B. auch einfach nach
> einer Zeile entwickeln oder einen Wert ausklammern? Oder
> geht das nur bei Matrizen, die die gleichen Werte auf der
> Hauptdiagonalen haben?
>
> Würde es bei dieser hier auch klappen?
> [mm]\pmat{ 7 & -4 & 8 \\ 2 & 1 & 2 \\ -5 & 4 & -6 }[/mm]
Hallo,
es ist natürlich nicht immer so bequem wie bei den Matrizen, die Du vorher hattest.
Aber wenn ma ein bißchen was weiß, kann man sich die Sache drastisch vereinfachen - und Klausuraufgaben sind meist so gemacht.
Du solltest auf diese Möglichkeit, Zeit und Nerven zu sparen, keinesfalls verzichten und immer nach sowas ausspähen.
Wir interessieren uns jetzt also für die Nullstellen der Determinante von [mm] \pmat{ 7-x & -4 & 8 \\ 2 & 1-x & 2 \\ -5 & 4 & -6 -x}.
[/mm]
Wenn Du Dir klarmachst, daß sich die Nullstellen durch Zeilen- und Spaltenumformungen nicht ändern (auf die Det. wirkt sich das ja nur durch einen Faktor aus), kannst Du hier vor dem Rechnen Vereinfachungen erreichen:
[mm] \pmat{ 7-x & -4 & 8 \\ 2 & 1-x & 2 \\ -5 & 4 & -6 -x} [/mm] 1. und 3. Zeile addieren:
--> [mm] \pmat{ 2-x & 0 & 2-x \\ 2 & 1-x & 2 \\ -5 & 4 & -6 -x} [/mm] 1. Spalte - 3. Spalte
--> [mm] \pmat{ 0& 0 & 2-x \\ 0 & 1-x & 2 \\ 1+x & 4 & -6 -x} [/mm]
Entweder Du siehst es so, oder Du entwickelst nach der 1. Spalte (oder nach der 1. Zeile):
p(x)=-(1+x)*(-(1-x)(2-x))=(1-x)(1+x)(2-x)
Gruß v. Angela
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![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
- ich hatte schon nicht mehr damit gerechnet und gelobe hiermit Besserung meiner zukünftigen Einschätzungen.
![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]"){kind=small}
) was du da gerechnet hast, aber dein char. Polynom stimmt leider nicht.
