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Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

Aufgabe
Symetrie bei gebrochen rationalen funktionen

aufgabe:Untersuchen sie, ob die folgenden Funktionen gerade oder ungerade sind.

1a) [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]
b)......

Ich hab mir mal die aufgabe angeguckt und weiß überhaupt nich wo ich anfangen soll bzw was die aufgabe von einem will.

ich hätte ganz spontan geguckt wie f(x) und f(-x) sich verhalten

[mm] f(x)=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]

[mm] f(-x)=\bruch{1}{(-x)^2-1} [/mm]

aber dann weiß ich nicht was mir das sagen soll......

danke schonmal


        
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Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 So 28.10.2007
Autor: ONeill

Hallo!
Wenn du die Symmetrie bestimmen willst, dann musst du x und -x einsetzen, wie von dir schon richtig angefangen:

[mm] f(x)=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]

[mm] f(-x)=\bruch{1}{(-x)^2-1}=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]
Also ist f(x)=f(-x)
Damit ist f(x)=f(-x) und der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Gruß ONeill



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Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

gibt es eine besondere einschränkung da es an den stellen 1 und -1 definitionslücken gibt??
ich meine gelesen zu haben dass f(x)=f(-x) nur gilt wenn f für alle stellen definiert ist.

Bezug
                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 So 28.10.2007
Autor: Teufel

Hi!

Das ist mir nicht bekannt. Aber die Funktion hier hat ja bei 1 und -1 eine Polstelle, da kommt das ja von der Symmetrie sowieso hin. Ich denke, dass Definitionslücken da egal sind.

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Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

Aufgabe
f(x)= [mm] \bruch{x+2}{x^2-2} [/mm]

hier kommt bei f(-x)= [mm] \bruch{-x+2}{x^2-2} [/mm]

und nun? denn f(x) ist ja nicht gleich f(-x)

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Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:55 So 28.10.2007
Autor: Teufel

Somit ist f(x) also nicht achsensymmetrisch zur y-Achse!

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Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

also dann punktsymetrisch..... oder wie??

Bezug
                                                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 28.10.2007
Autor: Teufel

Nein!

Für Punktsymmetrie (um O) muss gelten:

f(-x)=-f(x)

Und das gilt auch nicht. Sie ist also weder achsesymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch um O(0|0).

Bezug
                                                                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

wie müsste in dem fall eigentlich -f(-x) lauten? muss ich vor dem ganzen term ein minus setzen oder wie?

Bezug
                                                                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 So 28.10.2007
Autor: Teufel

Für jedes x und vor dem ganzen Term.

Punktsymmetrisch zu O wäre z.B.

[mm] f(x)=\bruch{x}{x²-2} [/mm]

[mm] -f(-x)=-\bruch{-x}{(-x)²-2}=\bruch{x}{x²-2}=f(x) [/mm]

Bezug
                                                                                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

warum heißt es [mm] \bruch{x}{x^2-2} [/mm] und nicht +2 ??

Bezug
                                                                                        
Bezug
Symmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:02 So 28.10.2007
Autor: Teufel

Ah, ich glaube ich habe die erste Frage etwas falsch gelesen.

f(x)=-f(-x) und -f(x)=f(-x) ist das selbe.

Und meine Funktio war nur ein beispiel für eine gebrochenrationale, punktsymmetrische Funktion. Die hatte nichts weiter mit deiner 1. Funktion zutun!

Bezug
                                                                                                
Bezug
Symmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 So 28.10.2007
Autor: Shabi_nami

jetzt bin ich noch verwirrter.....

ich wiederhole nochmal:

wenn f(x)=f(-x) ist dann ist der graph der f. achsensymetrisch
wenn f(x)=-f(-x) ist dann ist der graph der f. punktsymetrisch

richtig?

jetzt ein beispiel, damit ich es auch richtig verstanden habe:

[mm] f(x)=\bruch{x^3}{x^2-4} [/mm]

f(-x)= [mm] \bruch{-x^3}{x^2-4} [/mm]

also ist es nicht achsensymetrisch

[mm] -f(-x)=-\bruch{-x^3}{x^2-4} [/mm]

und wenn man das vereinfachrt kommt da
[mm] \bruch{x^3}{x^2+4} [/mm] raus

oder -4??? ich weiß nicht wie ich das - vor dem bruch wegkriege




Bezug
                                                                                                        
Bezug
Symmetrie: punktsymmetrisch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 So 28.10.2007
Autor: Loddar

Hallo Shabi_nami!


> wenn f(x)=f(-x) ist dann ist der graph der f. achsensymetrisch

[ok]


> wenn f(x)=-f(-x) ist dann ist der graph der f. punktsymetrisch

[ok]



> [mm]f(x)=\bruch{x^3}{x^2-4}[/mm]
>  
> f(-x)= [mm]\bruch{-x^3}{x^2-4}[/mm]
> also ist es nicht achsensymetrisch

[ok] Aber wenn Du hier das Minuszeichen im Zähler vor den Bruch ziehst, solltest Du sehen, dass gilt: $f(-x) \ = \ -(f(x)$ .

$$f(-x) \ = \ [mm] \bruch{-x^3}{x^2-4} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{x^3}{x^2-4}$$ [/mm]

  

> [mm]-f(-x)=-\bruch{-x^3}{x^2-4}[/mm]
>  
> und wenn man das vereinfachrt kommt da [mm]\bruch{x^3}{x^2+4}[/mm] raus

[notok]
$$-f(-x) \ = \ [mm] -\bruch{-x^3}{x^2-4} [/mm] \ = \ [mm] -(-1)*\bruch{x^3}{x^2-4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3}{x^2-4} [/mm] \ = \ f(x)$$
Also Punktsymmetrie zum Ursprung.


Gruß
Loddar

>  
> oder -4??? ich weiß nicht wie ich das - vor dem bruch
> wegkriege
>  
>
>  


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