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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Di 11.12.2007 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und sei [mm] \alpha:V \to [/mm] V eine lineare Abbildung
(a) Es sei Char(K) [mm] \not= [/mm] 2 beweise, dass [mm] \alpha [/mm] genau dann eine Symmetrie ist, wenn [mm] \alpha \circ \alpha [/mm] = [mm] id_V
[/mm]
(b) Falls char(K) = 2, folgt aus [mm] \alpha \circ \alpha [/mm] = [mm] id_V, [/mm] dass [mm] \alpha [/mm] die Identität ist? |
Hi,
also kann mir vielleicht jemand die Aufgabe erklären, ich verstehe überhaupt nicht was Char(K) und was die Symmetrie sein soll.
Vielen Dank
Gruß Smex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Di 11.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
zu charakteristik findest du ![[]](/images/popup.gif) hier etwas. was eine symmetrie (in diesem fall) sein soll, weiß ich auch nicht, aber das sollte in deinem skript stehen. um die aufgabe zu lösen musst du ja zumindest wissen, wie bei euch "symmetrie" definiert ist.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Di 11.12.2007 | | Autor: | Smex |
Sorry hab ich vergessen reinzuschreiben: Sei V ein K-Vektorraum und seien [mm] U^{+} [/mm] Und [mm] U^{- }Teilräume [/mm] von V. Wir nennen eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] V [mm] \to [/mm] V die symmetrie bezüglich [mm] U^{+} [/mm] entlang [mm] U^{- }falls [/mm] folgendes gilt:
(a) V = [mm] U^{+} \oplus U^{- } [/mm] und
(b) [mm] \alpha(x) [/mm] = x für alle x [mm] \in U^{+} [/mm] und [mm] \alpha(y) [/mm] = -y für alle y [mm] \in U^{-}
[/mm]
Mein Problem war jetzt, dass ich nicht verstehe, was das zu bedeuten hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Di 11.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Mein Problem war jetzt, dass ich nicht verstehe, was das zu
> bedeuten hat.
überlege dir dazu am besten, dass die spiegeleung an etwa der ersten winkelhalbierenden im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] eine symmetrie in diesem sinne ist.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Di 11.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
nachdem die begriffe geklärt sind nun mal zu teil (a) der aufgabe: ist [mm] $\alpha$ [/mm] symmetrie, dann musst du [mm] $\alpha \circ \alpha [/mm] = [mm] \textrm{id}_V$ [/mm] zeigen. zerlege dazu ein $v [mm] \in [/mm] V$ in zwei teile $v = [mm] a_1 [/mm] + [mm] u_2$ [/mm] mit [mm] $u_1 \in [/mm] U^+, [mm] \; u_2 \in [/mm] U^-$ und rechne dann einfach [mm] $\alpha \circ \alpha [/mm] (v)$ unter verwendung der linearität aus.
zur etwas schwierigeren richtung (hier muss man eben die idee haben, wie man die beiden untervektorräume wählt). also setze zum beispiel $U^+ = [mm] \{ y + \alpha(y) : y \in V \} [/mm] = [mm] \{x \in V: \exists \, y \in V: x = y + \alpha(y) \}$ [/mm] und zeige, dass [mm] $\alpha(x) [/mm] = x$ für $x [mm] \in [/mm] U^+$. hast du eine idee, wie man $U^-$ wählen könnte, damit alle restlichen bedingungen erfüllt sind? mach dir dann klar, dass [mm] $\textrm{char} \, [/mm] K [mm] \not= [/mm] 2$ eingeht, wenn du zeigst, dass $V = U^+ [mm] \oplus [/mm] U^-$.
zeige mal, wie weit du mit diesen ansätzen kommst.
grüße
andreas
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