Symmetrie einer Relation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (G;\circ) [/mm] Gruppe, H Untergruppe von G, [mm] \sim=\{(x,y):x,y \in G, x\circ y^{-1} \in H \}
[/mm]
Zeige [mm] \sim [/mm] ist Symmetrisch |
Hab das so gemacht, weiss aber nicht ob eine Gruppe bezgl einer Verknüpfung immer abgeschlossen ist.
Sei (x,y) [mm] \in \sim
[/mm]
Es gilt x [mm] \circ x^{-1} [/mm] = [mm] x\circ 1\circ x^{-1} [/mm] = [mm] x\circ y^{-1} \circ [/mm] y [mm] \circ x^{-1}. [/mm] Da [mm] x\circ y^{-1} \in [/mm] H, so auch [mm] y\circ x^{-1} \in [/mm] H
Habe sonst einfach keine Idee...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
Nur schnell... was genau ist die aufgabe?
Grüsse, Amaro
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Im Ganzen soll ich zeigen, dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist. Refelxiv und Transitiv habe ich bereits gezeigt.
Ah... habs hineineditiert.
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Hiho,
du musst bei Symmetrie doch zeigen:
Mit $x [mm] \sim [/mm] y$ auch $y [mm] \sim [/mm] x$
D.h. sei $x [mm] \sim [/mm] y$, d.h. [mm] $x\circ [/mm] y [mm] \in [/mm] H$
z.z $y [mm] \sim [/mm] x$ d.h. $y [mm] \circ [/mm] x [mm] \in [/mm] H$
So, und nun du bitte nochmal sauber im Matheeditior 
MFG,
Gono.
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Ach, diese Editor bringt mich noch um :)
Ich habe ein hoch minus eins vergessen. Es soll heißen:
[mm] \sim=\{(x,y):x,y \in G, x\circ y^{-1} \in H \}
[/mm]
Sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ja, aber dann ist das ja recht einfach....
Überlege dir mal, dass $x [mm] \circ y^{-1} [/mm] = h$ und nun Forme mal um
MFG,
Gono.
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Ist das oben denn falsch?
Denn ich weiss nicht weiter.
Also.
Sei h [mm] \in [/mm] H dann auch [mm] h^{-1} [/mm] und 1 [mm] \in [/mm] H. Aber soweit war ich oben auch schon. Am Ende brauche ich ja y [mm] \circ x^{-1} [/mm]
Das einzige was mir einfällt ist [mm] y^{-1} \circ h\circ [/mm] y. Aber ich weiss ja nicht ob y [mm] \in [/mm] H. Darum kann ich das ja nicht einfach so hinschreiben?!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Ok, halten wir fest:
Es gilt $x [mm] \sim [/mm] y$,
d.h. [mm] $x\circ y^{-1} \in [/mm] H$
d.h. [mm] $\exists h\in [/mm] H: [mm] x\circ y^{-1} [/mm] = h$
d.h. [mm] $h^{-1} [/mm] = (x [mm] \circ y^{-1})^{-1} [/mm] = y [mm] \circ x^{-1}$ [/mm]
d.h. $y [mm] \circ x^{-1} \in [/mm] H$
d.h. [mm] $y\sim [/mm] x$
MFG,
Gono.
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Aber aus [mm] h^{-1} [/mm] = (x [mm] \circ y^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] x^{-1} \circ [/mm] y. Nirgendwo steht, dass H kommutativ ist. Oder übersehe ich etwas?
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> Aber aus [mm]h^{-1}[/mm] = (x [mm]\circ y^{-1})^{-1}[/mm] = [mm]x^{-1} \circ[/mm] y.
> Nirgendwo steht, dass H kommutativ ist. Oder übersehe ich
> etwas?
Du hast einen Fehler, denn $(x [mm] \circ y^{-1})^{-1}$ [/mm] ist NICHT wie du vermutest [mm] $(x^{-1} \circ [/mm] y)$ sondern $(y [mm] \circ x^{-1})$ [/mm] und das ist gerade das, was wir brauchen.
MFG,
Gono.
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Aha okay. Danke!
Da hab ich ja nen dumm Fehler gemacht. Argh.
Ich dachte immer das "InverseHochEins" kann man "ausklammern"....
Da habe ich wohl falsch gedacht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Kannst du ja auch, du musst nur beachten, dass die Inversen kommutieren, also
$(x [mm] \circ y)^{-1} [/mm] = [mm] y^{-1} \circ x^{-1}$ [/mm]
MFG,
Gono.
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