Symmetrie von Graphen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | wähle einen Wert für den Parameter a so, dass der Graph der Funktion f entweder achsensymmetrisch zur 2. Koordinatenachse oder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Gib auch die Art der Symmetrie an. Welche Nullstellen hat dann f?
1) [mm] f(x)=2/3(x+a)^{4}
[/mm]
2) [mm] f(x)=x^{3}+a
[/mm]
3) [mm] f(x)=3x^{5}+ax^{4}+ax^{3}-12x
[/mm]
4) f(x)=(x-a)(x+2)
5) [mm] f(x)=x(x^{4}+a)
[/mm]
6) [mm] f(x)=ax^{8}-x [/mm] |
Hallo,
ich mache mir einen Kopf über die Aufgabe, weil ich nciht weiß, wie ich a bestimmen soll?!
Das geht doch nicht durch Ausprobieren. Dann sitze ich in 3 Tagen noch dran :-(. Aber ich weiß nicht, welchen ansatz ich wählen soll!
Könnt ihr mir bitte mal helfen? Ich würde mich sehr freuen!
VIele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 26.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, muss ja gelten:
f(-x)=f(x)
Das heisst, im Fall von a)
[mm] -\bruch{2}{3}(-x+a)^{4}=\bruch{2}{3}(x+a)^{4}
[/mm]
[mm] \gdw -[x^{4}-4ax³+6a²x²-4a³x+a^{4}]=x^{4}+4ax³+6a²x²+4a³x+a^{4}
[/mm]
[mm] \gdw-x^{4}+4ax³-6a²x²+4a³x-a^{4}=x^{4}+4ax³+6a²x²+4a³x+a^{4}
[/mm]
Hieraus kannst du jetzt das a bestimmen.
Für Punktsymmetrie gilt:
f(-x)=-f(x)
Also
[mm] -x^{4}+4ax³-6a²x²+4a³x-a^{4}=-x^{4}-4ax³-6a²x²-6a³x-a^{4}
[/mm]
Für die anderen Funktionen bist du an der Reihe
Marius
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Hallo!
Hää?! Ich habe kein Wort davon verstanden..Kannst du das n ochmal langsamer machen?! Muss das so kompliziert sein?
VIele Grüße
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 So 26.11.2006 | | Autor: | seifisun |
Also das einzigste was für dich wirklich wichtig sein dürfte ist folgendes:
Ist eine Funktion achsensymmetrisch zu x=0, so gilt :
[mm]f(x)=f(-x)[/mm].
(Bsp: [mm]f(x)=x^2[/mm])
Ist eine Funktion punktsymmetrisch zu (0;0), so gilt:
[mm]f(-x)=-f(x)[/mm].
(Bsp: [mm]f(x)=x^3[/mm])
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 So 26.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi,
ja, das weiß ich ja!
Aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt anwenden soll, ohne so groß rumzurechnen, denn das in dem Post davor habe ich garnicht verstanden
viele grüße
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 So 26.11.2006 | | Autor: | seifisun |
ok, machen wir das mal an einem Beispiel.
Du hast doch eine Funktion gegeben mit
[mm]f(x) = x^3+a[/mm]
Wenn die Funktion punktsymmetrisch wäre, würde gelten :
[mm]-f(x)=f(-x)[/mm]
Setzen wir nun mal für die rechte Seite einfach die Funktion ein:
[mm]f(-x) = (-x)^3+a=(-1)^3*x^3+a=-x^3+a[/mm]
Gucken wir uns jetzt mal die linke Seite genauer an:
[mm]-f(x) = -x^3-a[/mm].
Damit also die linke und gleichzeitig die rechte Seite der Gleichung gelten, muss a = 0 gelten. (denn dann folgt darauf : [mm]-x^3-0=-x^3+0[/mm].)
Ist halt n bissl mathematisches Umformen.
Kommentar: Es kann ja stets nur eine Art der Symmetrie geben, solange a eine reelle Zahl sein soll!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 So 26.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Bedingungen hast du ja verstanden, jetzt musst du das a halt den Bedingungen "anpassen"
Also:
Achsensymmetrie
[mm] \bruch{2}{3}(-x+a)^{4}=\bruch{2}{3}(x+a)^{4} |:\bruch{2}{3} [/mm] und die Klammer aufgelöst [mm] \gdw[x^{4}-4ax³+6a²x²-4a³x+a^{4}]=x^{4}+4ax³+6a²x²+4a³x+a^{4}
[/mm]
[mm] \gdw x^{4}-4ax³+6a²x²-4a³x+a^{4}=x^{4}+4ax³+6a²x²+4a³x+a^{4}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -8ax³-8a³x=0
[mm] \gdw [/mm] -8a(x³+a²x)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] a=0 Das heisst, für a=0 ist der Graph achsensymmetrisch.
(x³-a²x)=0 bekomme ich nicht nach a aufgelöst, so dass es von x unabhängig wird.
Ich hoffe, dass die Aufgabe so gemeint ist.
Marius
EDIT: Ich habe den Fehler verbessert, danke seifisun
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:34 So 26.11.2006 | | Autor: | seifisun |
Achtung, der M.Rex hat gerade versucht dir die Punktsymmetrie unterzujubeln (als er einfach ein Minus dazu erfunden hat beim ersten Schritt).
Parameter sind ferner unabhängig von anderen Variablen ==> diese Funktion kann so nicht Punktsymmetrisch werden (sondern ist achsensymmetrisch für a=0)
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Ach, ihr verwirrt mich immer mehr..könnt ihr mir vielleicht mal sagen, was ich für a setzen muss..anstatt so ellenlange umformungen..da steig ich immer aus, und das verzweifelt mich gerade sehr, weil ich schon so lange da dran sitze :-(
Informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Mo 27.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zusammenfassend kann man sagen, dass der Graph dann symmetrisch ist, wenn du es schaffst, eine der beiden Bedingungen für die Symmetrie (Achsen-/oder Punktsymmetrie) so nach a aufzulösen, dass a von x unabhängig wird.
Für dieses a wird der Graph dann symmetrisch.
Marius
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Hallo,
Heute als wir verglichen haben, hatte ich die Aufgaben nicht, weil ich es nicht hinbekommen habe. Wir sind dann aber auch nicht weiter drauf eingegangen.
Ich würde es doch gerne verstehen, nur verstehe ich es bei meinem Mathelehrer nicht wirklich..
könnt ihr mir bitte anhand den aufgaben jeweils zeigen, wie die lösung aussieht..dann kann ich versuchen mir da selbst einen reim drauf zu machen! =)
Das würde mir sehr helfen!
Viele Grüße
Informacao
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1)
Es liegt ein Binom vor
=> Biome haben gerade und ungerade Exponenten
=> Solche Funktionen sind nie symmetrisch
Ausnahme:
Wenn a=0
=> eine gerade Funktion liegt vor
=> gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse
2)
Wenn a gleich Null ist
=> dann liegt eine ungerade Funktion vor (d.h. nur ungerade Exponenten)
=> Punktsymmetrie zum Ursprung
3)
=> Es liegen gerade und ungerade Exponenten
=> Solche Funktionen sind nie symmetrisch
Ausnahme: a=0
=> dann liegt eine ungerade Funktion vor (d.h. nur ungerade Exponenten)
=> Punktsymmetrie zum Ursprung
4)
Es liegt eine quadrat. Funktion vor
=> solche haben gerade und ungerade Exponenten
=> Solche Funktionen sind nie symmetrisch
Ausnahme:
Wenn a=0
=> eine gerade Funktion liegt vor
=> gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse
5)
Multiplizier die Klammer aus
Es liegt dann eine ungerade Funktion vor
Solche Funktion sind punktsymmetrisch zum Ursprung
6)
Keine Symmetrie weil gerade und ungerade Funktionen
Ausnahme:
Wenn a=0 , dann ungerade Funktion, dann punktsymmetrisch zum Ursprung
(hoffentlich stimmt das alles, was ich hier erzähle) 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wie die anderen schon gesagt haben, gilt:
Grafen wind symmetrisch
...zur y-Achse, wenn f(x)=f(-x) gilt
...zum KO, wenn f(-x)=-f(x) gilt.
Soviel zu den mathematisch exakten Sachen.
Aber man kurz sagen: Die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn ALLE Exponenten in der Funktion gerade sind. Also z.B. [mm] f(x)=3,5x^6-x^2+3(x^0).
[/mm]
Und Symmetrie zu O(0|0) liegt vor, wenn alle Exponenten ungerade sind.
Also [mm] f(x)=x^7+4x^5-x
[/mm]
Und nun musst du gucken, wie du deine Funktion ändern musst, damit du entweder nur gerade oder nur ungerade Exponenten hast.
Bei den meisten Funktionen siehst du das eigentlich ganz leicht!
Bsp:
[mm] f(x)=2/3(x+a)^{4}
[/mm]
Du kannst das Binom auflösen, oder du benutzt die Methode scharfer Blick: Wenn a 0 wäre, dann wäre hier alles ok, da die Funktion Symmetrisch zur y-Achse wäre.
[mm] f(x)=\bruch{2}{3}(x+0)^{4}=\bruch{2}{3}x^{4}
[/mm]
Der einzige Exponent ist dann gerade.
Wenn a eine andere Zahl außer 0 wäre, würde man durch das Auflösen des binoms wahrscheinlich irgenwas mit [mm] x^4 [/mm] und x³ und sowas rauskriegen, also einen Mix aus geraden und ungeraden Exponenten und das wollen wir ja nich. Entweder alle gerade oder alle ungerade!
Nochmal 6.)
[mm] f(x)=ax^{8}-x
[/mm]
Hier bietet es sich an auch a einfach 0 zu setzen, da dann nur -x stehen bleibt => Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Psychopath |
> Hallo!
> Und Symmetrie zu O(0|0) liegt vor, wenn alle Exponenten
> ungerade sind.
> Also [mm]f(x)=x^7+4x^5-x[/mm]
Außerdem darf kein Absolutglied vorliegen:
[mm]f(x)=x^7+4x^5-x+2[/mm]
wäre z.B. nicht mehr punktsymmetrisch zu (0/0)
hab ich auch vergessen zu erwähnen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Jo, weil man sich ja hinter einem absolutglied [mm] x^0 [/mm] denken könnte, und das wäre gerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Psychopath |
> Hallo
>
> Wenn die Funktion Achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll,
> muss ja gelten:
> f(-x)=f(x)
>
> Das heisst, im Fall von a)
>
> [mm]-\bruch{2}{3}(-x+a)^{4}=\bruch{2}{3}(x+a)^{4}[/mm]
> [mm]\gdw -[x^{4}-4ax³+6a²x²-4a³x+a^{4}]=x^{4}+4ax³+6a²x²+4a³x+a^{4}[/mm]
>
> [mm]\gdw-x^{4}+4ax³-6a²x²+4a³x-a^{4}=x^{4}+4ax³+6a²x²+4a³x+a^{4}[/mm]
>
> Hieraus kannst du jetzt das a bestimmen.
>
> Für Punktsymmetrie gilt:
>
> f(-x)=-f(x)
>
> Also
> [mm]-x^{4}+4ax³-6a²x²+4a³x-a^{4}=-x^{4}-4ax³-6a²x²-6a³x-a^{4}[/mm]
>
> Für die anderen Funktionen bist du an der Reihe
>
> Marius
multiplizier doch das "Minus" auf der linken Seite einfach in die Klammer, dann steht da:
[mm] \bruch{2}{3}(x-a)^{4}=\bruch{2}{3}(x+a)^{4}[/mm]
Dies ist nur wahr, wenn +a=-a
Dies ist nur wahr, wenn a=0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Psychopath |
Da gibt es übrigens einen schönen Satz aus der Schulmathematik, der viel Arbeit erleichtert:
Ein Polynom mit ungeraden und geraden Potenzen kann niemals irgendwie symmetrisch sein.
Und ein Binom:
(x-a) hoch n
hat nach dem Ausmultiplizieren STETS gerade und ungeraden Exponenten.
Daher muß a gleich Null sein, denn dann wird aus dem Binom eine Potenz:
(x-a) hoch 4 wird zu: x hoch 4
Ein Polynom mit "nur geraden Potenzen" ist aber achsensymmetrisch zur y-Achse
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