Symmetriegruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:05 Di 03.11.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Die Symmetriegruppe des Würfels hat 48 Elemente. Welche? Warum nicht mehr? |
STimmt das überhaupt?
Die Drehungen ergeben 24 Elemente. Die S4. Dann müssten die übrigen 24 Elemente durch Spiegelungen erzeugt werden. Warum haben wir aber nicht die ganze S8?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Di 03.11.2009 | | Autor: | statler |
Einen wunderschönen guten Morgen!
> Die Symmetriegruppe des Würfels hat 48 Elemente. Welche?
> Warum nicht mehr?
> STimmt das überhaupt?
> Die Drehungen ergeben 24 Elemente. Die S4.
Ist das die S4? Weiß ich im Moment nicht, deswegen noch rot-grün.
> Dann müssten
> die übrigen 24 Elemente durch Spiegelungen erzeugt werden.
Das ist so nicht schön formuliert.
> Warum haben wir aber nicht die ganze S8?
Die S8 ist verdammt groß, und du kannst beim Würfel durch eine Symmetrie z. B. nicht 2 benachbarte Ecken vertauschen und den Rest festlassen, weil der Würfel ja irgendwie starr ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
> Die Symmetriegruppe des Würfels hat 48 Elemente. Welche?
> Warum nicht mehr?
> STimmt das überhaupt?
> Die Drehungen ergeben 24 Elemente. Die S4. Dann müssten
> die übrigen 24 Elemente durch Spiegelungen erzeugt werden.
> Warum haben wir aber nicht die ganze S8?
Hallo jumape,
Tatsächlich ist die Gruppe der Drehungen des Würfels
isomorph zur Symmetriegruppe [mm] S_4.
[/mm]
Wenn wir dann auch die Spiegelung des Würfels
an einer seiner Symmetrieebenen zulassen, kommen
wir insgesamt zu den 48 möglichen Kongruenzabbil-
dungen, welche insbesondere alle Kantenbeziehungen
intakt lassen.
Die gesamte Symmetriegruppe des Würfels entspricht
dem direkten Produkt $\ [mm] S_2\times S_4$.
[/mm]
"Vergisst" man die ganze Geometrie,
kommt man natürlich zur [mm] S_8. [/mm] Dies hat aber dann
eben nichts mehr mit dem Würfel zu tun, sondern
nur noch mit den Permutationen von 8 unterscheid-
baren Elementen.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
