Symmetrische Dichtefunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mi 20.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe 1 | Betrachte die absolut stetige, integrierbare Zufallsvariable X mit Dichtefunktion f(x).
Berechne E(X) für die Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion:
f(x) = [mm] \bruch{1}{3}*1_{(4,7]} [/mm] (Das sollte eine "dicke" Eins sein...)
Hinweis: Ist f(x) symmetrisch um x = m, d.h. f(x+m) = f(m-x) für alle m [mm] \in \IR, [/mm] dann ist E(X) = m. |
| Aufgabe 2 | Sei X eine Zufallsvariable, die gleichverteilt ist auf der Menge {-n, -n+1, ... , n-1, n}. Berechne den Erwartungswert der folgenden Zufallsvariable:
3X-5 |
Bei der ersten Aufgabe ist mir vorerst mal nicht ganz klar, was diese "dicke" 1 wohl bedeuten soll...! Steht diese für die Einheitsmatrix?
Bei der zweiten Aufgabe sollte ich für den Erwartungswert -5 erhalten. Als Lösungshinweis steht: Da X symmetrisch um Null und über einen endlichen Bereich verteilt ist, ist E(X) = 0.
Dies ist mir aber nicht klar. Wie sehe ich, dass X symmetrisch um Null ist? Ist dies der Fall, weil die Zufallsvariable gleichverteilt ist?
Die Dichtefunktion für die Gleichverteilung sieht ja so aus: f(x) = [mm] \bruch{1}{b-a} [/mm] für a [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] b, und f(x) = 0 sonst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Do 21.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Hinweis: Ist f(x) symmetrisch um x = m, d.h. f(x+m) =
> f(m-x) für alle m [mm]\in \IR,[/mm] dann ist E(X) = m.
Das stimmt so nicht. Der Erwartungswert muß schon auch existieren, d.h. [mm] $E(|X|)<\infty$.
[/mm]
Die Dichte der Cauchyverteilung ist prima symmetrisch, ohne daß ein EW existieren würde.
> Sei X eine Zufallsvariable, die gleichverteilt ist auf der
> Menge {-n, -n+1, ... , n-1, n}. Berechne den Erwartungswert
> der folgenden Zufallsvariable:
>
> 3X-5
> Bei der ersten Aufgabe ist mir vorerst mal nicht ganz
> klar, was diese "dicke" 1 wohl bedeuten soll...! Steht
> diese für die Einheitsmatrix?
>
Das ist die Indikatorfunktion
[mm] $\mathbf{1}_A(x):=\begin{cases} 1, &\text{falls } x\in A\\ 0, &\text{falls } x\notin A\end{cases}$
[/mm]
für eine beliebige Menge A (z.B. A=(4,7] )
Die wird Dir noch häufiger über den Weg laufen =)
Wird teilweise auch charakteristische Funktion genannt und [mm] $\chi_A(x)$ [/mm] geschrieben
> Dies ist mir aber nicht klar. Wie sehe ich, dass X
> symmetrisch um Null ist? Ist dies der Fall, weil die
oben wird doch erklärt, was sie mit symmetrisch meinen:
f(x) ist symmetrisch um m, falls f(x+m)=f(m-x)
m ist hier 0, und es gilt ja f(-x)=f(x), denn wenn $ [mm] x\in\{-n, -n+1, \dots , n-1, n\}$, [/mm] dann ist es -x auch (und andersrum)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Do 21.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
>
> oben wird doch erklärt, was sie mit symmetrisch meinen:
> f(x) ist symmetrisch um m, falls f(x+m)=f(m-x)
>
> m ist hier 0, und es gilt ja f(-x)=f(x), denn wenn
> [mm]x\in\{-n, -n+1, \dots , n-1, n\}[/mm], dann ist es -x auch (und
> andersrum)
>
Ja das sehe ich auch, dass wenn x [mm] \in \{-n, -n+1, \dots , n-1, n\}[/mm], [/mm] dann auch -x.
Aber das reicht doch nicht, dass man bereits sieht, dass X symmetrisch um Null ist. Für die symmetrie um 0 muss ja gelten, dass f(-x)=f(x)?
Oder übersehe ich da was?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Do 21.08.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> Ja das sehe ich auch, dass wenn x [mm]\in \{-n, -n+1, \dots , n-1, n\}[/mm],[/mm]
> dann auch -x.
> Aber das reicht doch nicht, dass man bereits sieht, dass X
> symmetrisch um Null ist. Für die symmetrie um 0 muss ja
> gelten, dass f(-x)=f(x)?
> Oder übersehe ich da was?
ja: "...die gleichverteilt ist..."
LG
Will
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Natürlich liegt die Tatsache, daß bei Aufgabe 2 der Erwartungswert [mm]\mu = 0[/mm] ist, nicht nur daran, daß die Werte von [mm]X[/mm] symmetrisch um die [mm]0[/mm] herum liegen, sondern auch daran, daß die Verteilung symmetrisch ist. Da hast du vollkommen recht. Du solltest hier aber nicht mit einer Dichte arbeiten, denn die Zufallsgröße [mm]X[/mm] ist ja diskret. Sie hat [mm]2n+1[/mm] Werte (die ganzen Zahlen von [mm]-n[/mm] bis [mm]n[/mm]). Da alle Wahrscheinlichkeiten gleich sein sollen, folgt
[mm]P(X=k) = \frac{1}{2n+1} \, , \ \ k \ \ \text{ganz mit} \ -n \leq k \leq n[/mm]
Und diese Gleichverteilung ist trivialerweise symmetrisch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Fr 22.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
Dann kann ich also auch nur einfach die Verteilung betrachten, und wenn diese dann symmetrisch ist um den Punkt [mm] x_0, [/mm] folgt, dass der Erwartungswert gleich [mm] x_0 [/mm] ist?
Denn der Hinweis zu dieser Aufgabe lautete ja:
Ist f(x) symmetrisch um x = m, d.h. f(x+m) = f(m-x) für alle m [mm] \in \IR, [/mm] dann ist E(X) = m. Und mit f(x) ist hier die Dichtefunktion gemeint.
Aber anscheinend kann man auch einfach schauen, ob die Verteilung symmetrisch ist?
Noch eine kurze andere Frage:
> Du solltest hier aber nicht mit einer
> Dichte arbeiten, denn die Zufallsgröße [mm]X[/mm] ist ja diskret.
Was meinst du damit genau? Gibt es denn auf diskreten W'keitsräumen keine Dichtefunktion?
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Ich will nicht ausschließen, daß die Wahrscheinlichkeitstheoretiker auf irgendwelchen abstrakten Maßräumen den Begriff der Dichte haben, so daß sich, spezialisiert auf einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, die Wahrscheinlichkeitsverteilung als eine Dichte herausstellt. Was jedoch den klassischen Fall angeht, würde ich sagen: Bei diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen keine Dichten.
Betrachten wir als Beispiel das Werfen zweier fairer Würfel und nehmen wir für [mm]X[/mm] die Augensumme. [mm]X[/mm] kann dann die Werte [mm]2,3,\ldots,12[/mm] annehmen, und es gilt
[mm]f(k) = P(X=k) = \frac{6 - \left| k - 7 \right|}{36} \ \ \mbox{für} \ k \ \text{ganz mit} \ 2 \leq k \leq 12[/mm]
Hier ist [mm]f[/mm] die Wahrscheinlichkeitsverteilung selbst (nennt man das Dichte?), die Variable ist aber nur ganzzahliger Werte fähig, so daß ich aus Gründen der Suggestion lieber [mm]k[/mm] statt [mm]x[/mm] geschrieben habe.
Diese Verteilung ist keine Gleichverteilung, aber dennoch symmetrisch zu [mm]k_0 = 7[/mm]:
[mm]f \left( 7 - j \right) = f \left( 7 + j \right) \, , \ \ 0 \leq j \leq 5[/mm]
Daher ist 7 auch der Erwartungswert.
Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen mußt du dann mit Dichten arbeiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Fr 22.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
> Hier ist [mm]f[/mm] die Wahrscheinlichkeitsverteilung selbst (nennt
> man das Dichte?)
Ja ich denke so macht das ganze dann auch für mich Sinn. 
Vielen Dank für deine Erklärungen.
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