Symmetrische Differenz zeigen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Do 26.04.2012 | | Autor: | Miklotov |
| Aufgabe | | Zeigen Sie A = B gilt genau dann, wenn A [mm] \Delta [/mm] B = { }. |
Mein Ansatz sieht so aus:
zu zeigen: A = B -> A [mm] \Delta [/mm] B = {}
Annahme: A [mm] \subseteq [/mm] B ^ B [mm] \subseteq [/mm] A -> A=B
"A [mm] \Delta [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] {}":
A [mm] \Delta [/mm] B = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A) = {} [mm] \cup [/mm] {} = {}, da A = B.
"{} [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \Delta [/mm] B": ...
Meine Fragen:
Ist es richtig dass ich bei einer Äquivalenzrelation die linke Seite als gegeben annehmen kann oder hätte ich, in diesem Fall, auch A = B beweisen müssen?
Außerdem weiß ich nicht wie ich zeigen kann dass {} [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \Delta [/mm] B. Ist es richtig wenn ich schreibe {} = {} [mm] \cup [/mm] {} = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A) = A [mm] \Delta [/mm] B
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie A = B gilt genau dann, wenn A [mm]\triangle[/mm] B = { }.
> Mein Ansatz sieht so aus:
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> zu zeigen: A = B -> A [mm]\triangle[/mm] B = {}
eher A=B <=> [mm]A\triangle B=\emptyset[/mm]
>
> Annahme: A [mm]\subseteq[/mm] B ^ B [mm]\subseteq[/mm] A -> A=B
>
> "A [mm]\triangle[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] {}":
> A [mm]\triangle[/mm] B = (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A) = {} [mm]\cup[/mm] {} = {}, da A
> = B.
>
> "{} [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\triangle[/mm] B": ...
>
> Meine Fragen:
> Ist es richtig dass ich bei einer Äquivalenzrelation die
> linke Seite als gegeben annehmen kann oder hätte ich, in
> diesem Fall, auch A = B beweisen müssen?
Du sollst (in der einen Richtung) nur zeigen, dass aus "A=B" folgt [mm]A\triangle B=\emptyset[/mm]
> Außerdem weiß ich nicht wie ich zeigen kann dass {}
> [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\triangle[/mm] B.
Es gilt immer(!) [mm]\emptyset \subseteq B[/mm] für Mengen B.
> Ist es richtig wenn ich schreibe {} =
> {} [mm]\cup[/mm] {} = (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A) = A [mm]\triangle[/mm] B
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Um das abzukürzen
1. Richtung "=>" Sei A=B. Dann ist [mm]A\triangle B=A\triangle A=\ldots[/mm]
2. Richtung "<=" Sei "[mm]A\triangle B = \emptyset[/mm]", d.h. [mm]\emptyset=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)[/mm]. Idee nimm ein Element [mm]a\in A[/mm] und zeige per Widerspruch, dass es auch in B liegt. Eigentlich müsste man auch noch für ein Element [mm]b\in B[/mm] zeigen, dass es in A liegt. Da genügt jedoch ein Symmetrieargument.
gruß
wieschoo
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